Gustlik: Jakubie − zadanie można rozwiązać prościej. W ciągu geometrycznym jeżeli podzielimy wyraz o wyższym numerze przez wyraz o niższym numerze, to różnica numerów wyrazów będzie wykładnikiem potęgi ilorazu q. Obowiązuje zasada: am/an = q⁽m−n). Np. a5/a3 = q² (bo 5−3=2) Wystarczy podstawić do tego równania dane: 81/9=q² q²=9 więc q=3 lub q=−3 Wyraz a1 obliczymy z zależności: a1=a3/q² ("cofamy się" o dwa numery z a3 do a1, dlatego dzielimy a3 przez drugą potęgę q) a1=9/3² a1=9/9 a1=1 lub a1=9/(−3)² a1=9/9 a1=1 Mamy więc dwa ciągi: a1 = 1 i q = 3 oraz a1=1 i q=−3. Metoda na pewno szybsza niż układem równań.

Jakub: Twoja metoda jest bardzo dobra dla ludzi już dobrze zaznajomionych z ciągiem geometrycznym. Takie rzeczy widzą ludzie, którzy już niejedno zadanie z tego działu rozwiązali. Ja napisałem takie typowe rozwiązanie ze wzorów.

Gustlik: Cały dowcip Jakubie tkwi w wytłumaczeniu i pokazaniu na kilku przykładach tej metody, wtedy ona jest łatwiejsza niz metoda standardowa. Pozdrawiam.

ola: nienawidze matmy i wszystkich którzy mają z nią coś wspólnego ale was kocham

kasia: nie rozumiem dlaczego są 2 rozwiązania q=3 i q=−3 ?

Jakub: Jak masz równanie q²=9, to zadajesz sobie pytanie: jakie liczby podniesione do kwadratu dają 9. Odpowiedź: są dwie takie liczby q=3 lub q= −3.

Hubert: czy jest jakaś różnica jak rozwiążemy to równanie tak jak w tym przykładzie przez układ równań czy tak jak w poprzednim?

Jakub: Nie ma różnicy, byle się wyniki zgadzały.

K.: ale widzimy ze ciag jest rosnący wiec nie mozna przyjac ze q=−3 gdyz wtedy byłby malejący.

Jakub: Dla ujemnych q ciąg geometryczny nie jest monotoniczny (niej jest ani malejący ani rosnący). Przykład: 1, −3, 9, −27, 81, ... W tym zadaniu jednak nie ma mowy o tym, że szukamy ciągu monotonicznego.

Sakata: nie wiem czy ktos to jeszcze czyta, ale chcialem zapytac czy tutaj mozna bylo wyliczyc a₄ za pomocą a_n²=a_n−1*a_n+1 i pozniej q=a₄/a₃ Wynik wyszedl q=3 , a₁=1

Tomek: Jak to obliczyć? an=1/2 * 2ⁿ⁻¹=?

mateusz: Ciekawe co sie robi gdy ma się podane a4 i q i trzeba wyliczyc a6 ...

Jakub: Wystarczy pomnożyć a₄ przez q i już masz a₅. Następnie mnożysz jeszcze raz przez q i masz a₆. a₅ = a₄ * q a₆ = a₅ * q

Milena: można też skorzystać ze wzoru właściwości ciągu że: a3=9, a4=x, a5=81 więc x² = 9*91 najprostszy sposób

Marcin: a jeżeli liczę w inny sposób, i obliczam sobie a4 w ten sposób: (a₄)²=9*81 a₄=√9 *√81 a₄=3*9 a₄=27 i obliczając q licze sobie q=81/27=3 I w ten sposób q mi wychodzi tylko i wyłącznie 3. Przeciez wszystko robie zgodnie z zasadami, czy jest to błąd?

Jakub: Masz dobre równanie (a₄)² = 9*81. Ma ono dwa rozwiązania. a₄ = −3*9 lub a₄ = 3*9 ponieważ (a₄)² = (−3*9)² = 9 * 81 (a₄)² = (3*9)² = 9 * 81

Marcin: Dzięki wielkie! wszystko rozumiem

Aneczka: Nigdy nie umie dojsc do tego jak zrobic zeby byly zas dwa rozwiązania a_n²= a₃ * a₅ a_n² = 27 a_n = a₄ a₄= a₃ *q 27= 9 *q 27/9 = q q=3 Jak bym zapamietala ze za kazdym razem moze byc dodatnie albo ujemne ? bo za cholere mi to do mózgu sie nie wbija.

Jakub: Tam masz a₄² = 27 i nie możesz tego 27 wstawić do równania, gdzie masz samo a₄ bez kwadratu. a₄² = 27 a₄ = −⁴√27 lub a₄ = ⁴√27

anonim: Tam chyba było a₄² = 729 więc samo a₄ to 27 i może chyba wstawić tak. Mnie za to ciekawi jak zrobić ten drugi przykład, w którym jest a₄ = 1 i a₇ = 8, bo nie mam pojęcia

mibek: a mi wyszło że q=3 mianowicie:

	a5		81
q=		=		=3. żadnego kwadratu nnie widzę...
	a4		27

...: I a1*g⋀2=9 II a1*g⋀4=81 II a1*q²*q2=81 podstawiamy II 9*q2=81 q2=9 /√ q=3 i podstawić pod równanie I a1*q2=9 a1*(3)2=9 a1*9=9 /;9 a1=0 i tu chyba mam coś źle ...

anuuucha : a1=1 bo 9;9=1

anon: cały czas mi się miesza, ponieważ raz w zadaniach na tej stronie potęga jesz przenoszona na drugą stronę i jest jedno rozwiazanie, zaś innym razem wychodzą dwa rozwiązania. Prosiłbym o pomoc w wyjaśnieniu tego zjawiska.

Grzegorz: Jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to rozwiązaniem jest liczba x oraz do niej przeciwna −x, zgodnie z regułami potęgowania, gdzie np. (−2)²=4 oraz 2²=4. Przeciwnie do potęgi o wykładniku nieparzystym, gdzie 2³=8, ale (−2)³=−8. Jeśli rozwiązanie MUSI być liczbą naturalną (a numer kolejnego wyrazu ciągu musi) nie może być ujemny, ani być ułamkiem.