Gustlik: Można to rozwiązać prościej: dla każdego ciągu arytmetycznego słuszny jest wzór: a_m − a_k = (m−k)r Można go łatwo udowodnić: a_m = a₁+(m−1)r a_k = a₁+(k−1)r Odejmujemy równania stronami: a_m − a_k = a₁+(m−1)r − a₁−(k−1)r = mr − r − kr + r − mr − kr = (m−k)r. Czyli krótko i obrazowo mówiąc: między dwoma wyrazami ciągu arytmetycznego jest tyle "r"−ów, ile wynosi różnica numerów tych wyrazów. Działanie tej reguły wygląda np. tak: a₁₀ − a₈ = 2r, bo 10 − 8 = 2, a₂₀ − a₁₅ = 5r, bo 20 − 15 = 5. Przekształcając tę regułę możemy np. obliczać dowolne wyrazy ciągu mając dany jeden dowolny wyraz i różnicę bez konieczności obliczania wyrazu a₁, jeżeli nie jest on konieczny. Np. a₁₂ = a₅ + 7r (bo od 5 do 12 trzeba "podjechać" do przodu o 7 kolejnych wyrazów, czyli o 7 różnic), a a₃ = a₈ − 5r (bo od 8 do 3 trzeba się "cofnąć" o 5 wyrazów, czyli o 5 różnic). Czyli jak "jedziemy" do przodu − dodajemy odpowiednią ilość różnic, a jak się "cofamy" − to odejmujemy odpowiednią ilość różnic. O wiele łatwiej i szybciej się to robi w ten sposób, niż standardowymi szkolnymi metodami, czyli przez układ równań i cofanie się za każdym razem do wyrazu a₁. W naszym zadaniu możemy to zrobić następująco: a₁₅ − a₁₁ = 4r (bo 15 − 11 = 4) Podstawiamy dane z zadania: 42 − 30 = 4r 12 = 4r /:4 r = 3 Wyraz a₁ mozemy obliczyć z a₁₁ lub a₁₅ (lepiej z a₁₁, bo leży bliżej) w następujący sposób: a₁ = a₁₁ − 10r (od a₁1 odejmujemy 10 r, bo jadąc z od 11 do 1 "cofamy się" o 10 numerów, czyli o 10 różnic) a₁ = 30 − 10*3 a₁ = 30 − 30 = 0 Odpowiedź: a₁ = 0, r = 3.

Jakub: To jest dobry sposób tylko mniej standardowy. Wymagający większego doświadczenia od rozwiązującego.

Gustlik: Może mniej standardowy, ale krótszy. Wystarczy tylko uczniom pokazać zasadę: od wyrazu o wyższym numerze odejmujemy wyraz niższym numerze, czyli odejmujemy numery wyrazów i róznica numerów daje ilość "r"−ów, np. a₉ − a₅ = 4r, bo 9 − 5 =4 czy a₁₂ − a₇ = 5r, bo 12 − 7 =5. A jak chcesz obliczyć wyraz o numerze wyzszym od wyrazu danego to dodajemy "brakujące" "r"−y. Np. a₈ = a₅ + 3r − dodajemy 3r, bo musimy "podjechać" o trzy numery do przodu, bo 8 = 5+3, albo a₁₅ = a₁₀ + 5r − "podjeżdżamy" o 5 numerów, czyli dodajemy 5r. Analogicznie − obliczając wyraz o niższym numerze odejmujemy odpowiednią ilość "r"−ów. Np. a₁₀ = a₁₄ − 4r − "cofamy się" o 4 numery, dlatego odejmujemy 4r, albo a₃ = a₉ − 6r, bo "cofamy się" o 6 numerów. Ta metoda naprawdę pozwala na szybsze rozwiązywanie zadań z ciągami niż mietoda standardowa, wystarczy ją tylko raz pokazać i uczniowie ją zrozumieją. Stosuję też analogiczną metodę na ciąg geometryczny: jeżeli mając dwa dane wyrazy chcę obliczyć iloraz q, to dzielę wyraz o wyższym numerze przez wyraz o niższym numerze, odejmuję numery wyrazów i to daje potęgę q, np. a₈/a₅ = q³, bo 8 − 5 =3. Natomiast a₉ = a₄*q⁵ − "podjeżdżam" o 5 numerów do przodu więc mnożę przez odpowiednią potęgę q, tu q⁵, bo jadę o 5 numerów do przodu, a obliczając wyrazy ciągu "do tyłu" − to dzielę przez odpowiednią potęgę q, np. a₃ = a₇/q⁴, bo "cofam się" o 4 numery. Metoda prosta i szybka.

Michał: Gustlik, brak mi słów, ale dokładnie wpadłem na coś takiego samego, tylko, że ja to zapisuję jeszcze szybciej, w jednym wzorze, można naprawdę to bardzo szybko obliczyć, aż dziwię się, że nikt tego w szkołach nie pokazuje! Wzór na geometryczny już podałem, gdzie indziej, teraz podaję na arytmetyczny. Potrzebne jest tylko rozgraniczenie wartości numerycznej i liczbowej:

	Sn − Sn−p
R =
	an − an−p

S − wartość liczbowa danego wyrazu, np. 24 dla a₄. a − wartość numeryczna − czyli, jak to ująłeś, odległość danych wyrażeń od siebie, dla a₄ to 4. p − to druga liczba ciągu, mniejsza od a_n. Jeśli znamy te dwie dowolne liczby ciągu, łatwo możemy obliczyć różnicę. działa, prosto i skutecznie wystarczy podstawić do wzoru

Patiee.: ludzie,wy geniusze jesteście, bez kitu.

m: jejeje to jest dużo trudniejszy sposób od mi znanego ;<

Gustlik: Chyba ma to wyglądać tak:

	an−ap
r=
	n−p

y: ⇔δπΔΩ≥≤∞ΩΩπ

Kamil: Ten sposób jest chyba najlepszy: a₁1 = 30, a₁5 = 42 a₁5 = a₁ + 14 r a₁1 = a₁ + 10 r a₁5 − a₁1 42 − 30 = a₁ + 14 r − (a₁ + 10 r) 12 = 4 r / : 4 3 = r a₁5 = a₁ + 14 r 42 = a₁ + 14 * 3 42 − 42 = a₁ 0 = a₁ a₁ = 0, r = 3

lulek: Jakub jestes mistrzem

karol: czemu tam jest w drugim przykladzie 30−10*3 i wychodzi 0

Jakub: Kolejność wykonywania działań − najpierw mnożenie, później odejmowanie: 30 − 10*3 = 30 − 30 = 0

karol: o ja głupi... dzięki!

Aron: Nauczyłem sie liczyć sposobem standardowym podanym przez Jakuba i jest dobrze. Ale robiąc przykładem Gustlika totalnie mnie zatkało.. ciekawi mnie czy na maturze uznają mi takie rozwiązanie. Niby jak Jakubb zawsze powtarza nie ważne jak ważne że wynik się zgadza bo matematyka polega na logicznym myśleniu powinni uznać, tylko trzeba to opisać dodatkowo słowami jak to dziala.

kutavifon: a₁₁ = 30 a₁₅ = 42

	a15−a11		12
b=		=		= 3
	15−11		4

a₁ = a₁₁−(11−1)b = 30−10b = 0 To był mój pierwszy sposób na jaki wpadłem, taki sam jak ten Gustlika. Przedstawiłem go jednak trochę bardziej "matematycznie" i zwięźle

Marcin: Jeśli rozwiązałem ten przykład w taki sposób: a₁₅=42 a₁₁=30 42−30=12 12/4=3 r=3 a₁₁=a₁+(11−1)r 30=a₁+10*3 a₁=0 Odp. a₁=0 , r=3 i miałbym coś podobnego na maturze to zostanie to zaliczone?

Rafio: @Marcin Tak, jest to dobre rozwiązanie.