Gustlik: Jakubie − podam bardzo przydatną metodę pozwalającą na szybkie sprawdzenie, czy monotoniczność ciągu arytmetycznego została dobrze obliczona przy pomocy szkolnej standardowej metody. Ta "moja" metoda ta opiera się na zwiazku ciągu arytmetycznego z funkcja liniową. Nietrudno wykazac, że wartosci funkcji liniowej y=ax+b obliczone dla kolejnych naturalnych x = 1, 2, 3 itd. utworzą ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym an=a*n+b, (czyli podstawiamy do funkcji x=n, a y=an) a różnica tego ciągu będzie równa współczynnikowi kierunkowemu prostej, czyli r=a. Wiadomo, że jeżeli a>0 to r>0, więc funkcja liniowa rośnie, a więc ciąg również jest rosnący, a jak a<0, to r<0 więc funkcia i ciąg są malejące. Ciąg arytmetyczny jest po prostu funkcją liniową, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie. Np. ciąg arytmetyczny an=5n−2 możemy otrzymac z funkcji liniowej y=5x−2. Wsp ółczynnik kierunkowy a=5, różnica ciągu zatem też r=5, więc ciąg jest rosnący. Natomiast ciąg an=3−2n możemy zapisać jako an=−2n+3, odpowiada mu funkcja liniowa y=−2x+3. Wspólczynnik kierunkowy i różnica ciagu są równe −2, więc ciąg jest malejący.

Jakub: Takie skojarzenie ciągu z funkcją liniową jest bardzo przydatne. Widząc wykres funkcji liniowej od razu widać, czy jest rosnący, czy malejący. Ciąg arytmetyczny to szczególny przypadek funkcji. Jest to funkcja określona dla liczb naturalnych.

bajka0909: czyli można używać ,tego co Gustlik napisał ,powiem szczerze ,że szybciej może to zrozumieć osoba która z matematyką nie ma w ogóle do czynienia. Gustlik szacunek dla Ciebie

erwson: A jak można inaczej zbadać monotoniczność takiego ciągu an= −2n²+n−10

Jakub: Zobacz przykład z poprzedniej strony i rozwiąż podobnie.

Sam: To jest banalne ale mam pytanie odnośnie obecności tego typu zadań na maturze. Bo zamieszczone są tu wśród zadań na podstawie a sam temat "monotoniczność ciągu, ciąg rosnący, ciąg malejący" w dziale "ciąg arytmetyczny" jest na czarno − czyli materiał ze studiów. Więc jak to jest?

Jakub: Racja. Badania monotoniczności ciągów nie ma na maturze. Już to usunąłem z tematu "ciąg arytmetyczny". Dzięki za zwrócenie uwagi.

Gustlik: Erwson i to można też zrobić funkcją, tyle że kwadratową: an= −2n2+n−10 y=−2x²+x−10, D=N₊ Liczysz wspólrzędną wierzchołka paraboli, bo tam funkcja zmienia monotoniczność:

	−b		−1		1
xw=p=		=		=
	2a		−4		4

	1
Parabola ma ramiona w dół, bo a=−2<0, a wierzchołek ma p=		, zatem punkty odpowiadające
	4

wszystkim liczbom N₊ znajdują się na prawym ramieniu tej paraboli, gdzie funkcja maleje. Zatem ten ciąg jest malejący.

licealistka: a to zawsze liczy się Xw, czy to wszystko jedno czy się obliczy iksową, czy igrekową wierzchołka? ja mam z kolei problem, z określeniem, kiedy ciąg jest niemonotoniczny kiedy ciąg jest naprzemienny, tak? i skąd mam wiedzieć, że skoro te dwa wyrazy ciągu są takie, to cały ciąg( np wyraz setny albo pięćsetny ) jest również taki, jak wyszło ?

Jakub: Jeżeli chodzi o poprzednią stronę, to odejmuję wzór na "n+1" wyraz (a_n+1) od wzoru na "n"−ty wyraz (a_n) i ustalam czy ta różnica jest dodatnia czy ujemna. Jeśli dodatnia to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna to ciąg jest malejący. Dzięki temu, że działam na wzorach to po odjęciu a_n+1−a_n mam wzór na różnicę dowolnych kolejnych wyrazów ciągu. Ten wzór obejmuje wszystkie różnice, również tak jak napisałaś wyraz setny lub pięćsetny.

licealistka: a jak mam patrzeć na monotoniczność po odjęciu pierwszego od następnego j,jeśli w mianowniku i w liczniku mam równania typy (2x−4) czy (3−x)(6−x) , lub kiedy w liczniku występuje tylko liczba całkowita? Bo się naprawdę w tym gubię. KIedy liczę monotoniczność, niby coś mi wychodzi, ale nie jestem w stanie powiedzieć, czy ciąg jest taki, czy taki. A odpowiedziach jest np że malejący albo niemonotonicznyi i głupieję, bo nie wiem, dlaczego....

Jakub: Ciąg jest określony dla liczb naturalnych dodatnich n=1,2,3,4,5, ... Musisz sprawdzić, jaką wartość ma dla tych liczb różnica. Na początek po prostu podstaw kilka np. 1, 2, 3 i zobacz czy wyjdzie wynik dodatni czy ujemny. W ten sposób będziesz znała już odpowiedź. Jako uzasadnienie tej odpowiedzi możesz narysować wykres tej różnicy.

licealistka: ok, dzięki Jakubie bardzo mi pomogłeś

nwc: Zbadałem monotoniczność, jest OK, dzięki!

Szacun: Gustlik jesteś niezły dzięki Tobie jeszcze łatwiej się tego nauczyć

Adam: Czy przypadkiem w tym przykładzie nie powinien być rosnący? Bo 5>0

Jakub: @Adam Racja, była pomyłka. Dzięki.