asia: co to oznacza ,że nie jest stały ten ciąg w takim razie kiedy bedzie stały , przydałoby sie tu jakieś dodatkowe wytłumaczenie. dziekuje

Jakub: Na poprzedniej stronie nie ma nic o ciągach stałych. Jeżeli różnica a_n+1−a_n daje liczbę, a nie wyrażenie z "n", to ciąg a_n jest arytmetyczny.

wilnianka: bardzo superowa stroniczka

ania: naprawdę bardzo fajna stronka

Marcin: Dla tego przykładu : an=3n+2 , mamy zbadac czy ciag jest arytmetyczny Mozna policzyć z tego wzoru pierwszy, drugi i trzeci wyraz i zobaczyc czy jest arytmetyczny a1=5 a2=8 a3=11 5, 8, 11 Widać, że jest to ciąg arytmetyczny o róznicy r=3 , czy zaliczone by było takim sposobem ?

Jakub: Wypisanie kilku początkowych wyrazów ciągu nie może być dowodem tego, że jest on arytmetyczny. W ten sposób udowodnisz, że pierwsze 10 (lub tyle ile wypiszesz) wyrazów ciągu tworzą ciąg arytmetyczny. Nie wynika z tego jednak, że wyrazy np. powyżej setnego też tworzą ciąg arytmetyczny. Musisz udowodnić dla wszystkich wyrazów ciągu, że jest on arytmetyczny. Problem polega na tym, że tych wyrazów jest nieskończenie wiele. Tak więc jedyne co ci zostaje to działać na wzorach. Zobacz na ten ciąg: 1, 3, 5, 7, 100, 80, 77, 34, 101, ... Patrząc na pierwsze cztery wyrazy ciągu wydaje się on arytmetyczny. Po kilku pierwszych nie wolno jednak tego oceniać. Twój sposób jest jednak dobry, jeżeli chcesz udowodnić, że jakiś wzór nie jest wzorem ciągu arytmetycznego. Wystarczy pokazać, że parę pierwszych wyrazów nie tworzy ciągu arytmetycznego i to jest już cały dowód.

tysia: nie rozumiem tego przykładu: a_n=a² mógłbyś wytłumaczyć?proszę.

Jakub: Na początku znajduję wzór na a_n+1 wyraz. Jest to konieczne, ponieważ w definicji ciągu arytmetycznego masz to a_n+1. Następnie liczę różnicę a_n+1−a_n. Wyraz a_n+1 oznacza wyraz następny po dowolnym wyrazie a_n. W ciągu arytmetycznym różnica dwóch kolejnych wyrazów powinna wyjść taka sama (jakaś liczba) . Sprawdzam jak jest dla ciągu a_n=n² i wychodzi a_n+1−a_n = 2n+1. Nie wyszła liczba Wyszło wyrażenie, które zmienia się w zależności od n. Oznacza to, że ciąg a_n=n² nie jest ciągiem arytmetycznym.

jauel : a moze mi ktos powiedziec w koncowym wyliczeniu skad sie wział minus ( ten długi ) 3n+5−(3n+2)=3n+5−−−−−−3n−2=5−2=3

Jakub: Usuwam nawias i minus przed nawiasem "działa" na każdy składnik nawiasu. 3n+5−(3n+2) = 2n+5−3n−2 = 5−2 = 3

Karola: Mozesz mi Jakub wytlumaczyc czemu ten ciag jest arytmetyczny skoro wychodzi wyrazenie. A tak jak napisales wczesniej to ciag jest arytmetyczny kiedy wychodzi liczba. an= 7n+9 czyli an+1= 7(n+1)+9= 7n+7+9= 7n+16 Prosze o szybka odpowiedz bo w poniedzialek poprawka matury z matematyki Pozdrawiam.

Jakub: Zapomniałaś odjąć. a_n+1 − a_n = 7n+16 − (7n+9) = 7n+16 − 7n−9 = 7 Wychodzi liczba, więc ciąg a_n=7n+9 jest ciągiem arytmetycznym.

Karola: No tak masz racje wielkie dzieki za szybka odp nie mialam jednak czasu zeby wczesniej na nia odpisac Ale sie boje przed poniedzialkiem Mam nadzieje ze ci ktorzy wymyslali zadania na poprawke z matematyki byli bardzo lagodni Pozdrawiam.

Piotrek: Panie Jakubie, ta stronka jest wprost rewelacyjna. Miałem drobne zaległości w szkole, spowodowane chorobą, a dzieki tej stronie wszystko nadrobilem. Cos pieknego. Dzieki sliczne, a pomysl doskonaly!

Gustlik: Ja proponuję podać następującą własność: każdy ciąg dany wzorem funkcji liniowej, czyli wzorem postaci a_n=an+b jest ciagiem arytmetycznym o różnicy r=a − różnica jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej y=ax+b. Dowód: a_n=an+b a_n+1=a(n+1)+b=an+a+b r=a_n+1−a_n=(an+a+b)−(an+b)=an+a+b−an−b=a r=a c.n.d. Korzystając z tej własności można szybko sprawdzić,czy ciag jest arytmetyczny BEZ LICZENIA, można też szybko sprawdzić jego monotoniczność. Jeżeli wzór ciągu da się przekształcić do funkcji liniowej, to jest to ciag arytmetyczny (o ile nie ma założeń typu n≠1, n≠2 itd.). Np: a_n=7n+9 → r=7 > 0 → ciąg arytmetyczny rosnący a_n=−6n+9 → r=−6 < 0 → ciąg arytmetyczny malejący Wystarczy po prostu odczytać współczynnik kierunkowy jak w funkcji liniowej i wiemy, jaka jest monotoniczność ciągu.

referee: Ja zawsze liczę takim sposobem i zawsze mi wynik wychodzi, mam tylko pytanie czy takie rozumowanie jest poprawne: a_n=3n+2 a_n+1=3(n+1)+2 a_n+1=3n+5 3n+2=3n+5 n=3

Gosia: Dzięki za tą stronę ...

dandys: Naprawdę świetna strona, powinna być jak najszerzej promowana. Ja zacznę od powiadomienia znajomych!

Ania: nic nie rozumiem dalej

oluska: A ja mam taki przydład n+3/n jak to zrobić

eva: referee, chyba popełniłeś błąd, bo wyszło Ci 2 = 5 po odjęciu od obu stron 3n. to raczej nie jest poprawne

Mavaka: Panie Jakubie mały błąd w komentarzu: "Jakub: Usuwam nawias i minus przed nawiasem "działa" na każdy składnik nawiasu. 3n+5−(3n+2) = 2n+5−3n−2 = 5−2 = 3" powinno byc 3n+5−(3n+2) = 3n+5−3n−2 = 5−2 = 3

Jakub: Racja Mavaka.

Dominik: czy ten ciąg jest arytmetyczny an=7

Jakub: Ciąg a_n=7 jest stały, więc jest również arytmetyczny.

mat: przydałoby się aby rozdzielić te dwa przykłady przecinkiem (an=3n+2 i an=a2), bo myślałam, że to 1 zadanie i że to razem trzeba liczyć.

lol: genialne, więcej z tego wiem niż z lekcji

Przemek: Witam, mam pytanie Panie Jakubie skąd się bierze w pierwszym zadaniu 3_n+5 − (3_n+2), nie wiem skąd się bierze ten piekielny nawias.

Przemek: Ok, nie zauważyłem że to jest odejmowanie a_n już nieaktualne

MrG: a jeżeli n wyjdzie ujemne to także będzie to c.arytmetyczny?

Jakub: n to są liczby arytmetyczne bez zera, czyli 1, 2, 3, ...

Agnieszka: Świetna strona. chylę czoła dzięki niej może w końcu zrozumiem matematykę a matura nie będzie mnie straszyć po nocach!

Tetis.: Nie łatwiej podstawić pod n po kolei na przykład 1, 2 a potem 3 i wyliczyć pierwsze 3 wyrazy ciągu, a na końcu sprawdzić czy różnice między kolejnymi liczbami są takie same?

Jakub: Pisałem już o tym. Drugi mój wpis od góry.

za 2 lata matura ...: czyli wychodzi na to, że ciąg jest arytmetyczny wtedy kiedy an=liczba np. 40 a nie jakieś wyrażenie typu 2n ?

Damian Kęska: Bardzo przydatne, jasno i przejrzyście opisane wszystko, cud miód : )

lierre: Dziękuję za tą stronę, od podstawówki miałam problemy z matematyką. Nie przystąpiłam do matury z moim rocznikiem i teraz będe starać się to naprawić korzystając z tej strony. Wszystko jest wspaniale wyjaśnione, dużo daje użycie kolorów w ważnym momencie działania i możliwość dokładniejszych wyjaśnień w komentarzach. Szkoda że we wszystkich szkołach nie uczą tak jak tu

Wojach: a czy różnica r=an+1 − an nie powinna wyglądać tak: r=an−an+1 bo po przeniesieniu an+1 na drugą strone jest zmiana znaku a an pozostaje bez zmian

karoleczek10: a mogę liczyć z takiego wzoru: r=a_n−a_n−1 ?

karoleczek10: bo mi wyszło w pierwszym 7 a w drugim −2n+1 dobrze?

Jakub: Wzór r = a_n − a_n−1 jest równoważny mojemu r = a_n+1 − a_n. Powinny wyjść takie same wyniki z obu wzorów. Gdzieś robisz błąd w obliczeniach.

Kacha: czy moze ktokolwiek opisac co mamy po kolei zrobic czyli, jakiego wzoru uzyc na samym początku a jakiego na koniec. BARDZO PROSZE

joke: Tak gadasz na tych nagraniach ze nic sie nie da zrozumieć. wiecej tłumacz krok po kroku a nie tylko omawiasz co jest napisane, to przecież widać.