Gustlik: Jakubie − proponuję wyprowadzić trzy proste wzory na przejście z postaci ogólnej równania okręgu do kanonicznej: Postać ogólna wygląda tak: x² + y² + Ax + By + C =0 (1) Postać kanoniczna wyglada tak: (x−a)² + (y−b)² = r² (2) Przekształcamy postać kanoniczną (2) do ogólnej: x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² − r² = 0 Porządkujemy wyrazy w takiej kolejności, jak w równaniu (1): x² + y² − 2ax − 2by + a² + b² − r² = 0 (3) Z porównania wspólczynników równań (1) i (3) przy tych samych zmiennych x, y i wyrazów wolnych otrzymujemy następujące zalezności: A = −2a /:(−2), stąd a = −^A₂ B = −2b /:(−2), stąd b = −^B₂ i mam obliczone współrzedne środka a i b. C = a² + b² − r², stąd obliczam promień okregu: r² = a² + b² − C /√ ostatecznie r = √a² + b² − C Mamy więc trzy proste wzory: − współrzędne środka okręgu: a = −^A₂ , b = −^B₂ , − promień okręgu r = √a² + b² − C . Rozwiązę Twój przykład tą metodą: x² + y² − 4x + 2y + 1 = 0 Współczynniki równania wynoszą: A = −4 B = 2 C = 1 Liczę współrzędne środka: a = −^A₂ = −⁻⁴₂ = 2 , b = −^B₂ = −²₂ = −1 , Liczę promień okręgu: r = √a² + b² − C = √2² + (−1)² − 1 = √4 + 1 − 1 = √4 = 2. Mamy więc: a = 2, b = −1, r = 2. Podstawiam do równania kanonicznego: (x−a)² + (y−b)² = r² (x−2)² + [y−(−1)]² = 2² i otrzymuję: (x−2)² + (y+1)² = 4. Mamy więc okrąg o środku S = (2, −1) i promieniu 2. Sposób łatwiejszy i szybszy, ponieważ nie trzeba szukać liczb, które trzeba dodawać i odejmować, aby otrzymać rozwinięcia wzorów skróconego mnożenia. Wystarczy pokazać trzy wzory.

Jakub: Zgoda Gustlik, że te wzory znacznie przyspieszają rozwiązywanie tego typu zadań. Problem polega na tym, że nie chcę, aby uczniowie bezmyślnie podstawiali do tych wzorów. Ty wiesz skąd one się wzięły. Zresztą to powyżej nawet napisałeś. Większość osób jednak tego nie wie i nawet nie chce wiedzieć. Z tego powodu wolę im powiedzieć. Znasz wzory skróconego mnożenia, znasz równanie okręgu (x−a)²+(y−b)²=r². Kombinuj, jak policzyć środek (a,b) i promień r. Dobrze jednak, że napisałeś to powyżej. Dociekliwy uczeń będzie szukał, trafi na twój komentarz i się nauczy nowego sposobu.

Gustlik: No właśnia, z tym kombinowaniem to sporo osób ma problemy, a zadania robi się dłużej, bo trzeba za każdym razem szukać liczb, które będą "pasowały" do wzorów skroconego mnożenia. A tak wystarczy raz wyprowadzić wzory na przejście z postaci ogólnej do kanonicznej i zadanie jest rozwiazane szybciej, a na sprawdzianie czy tym bardziej na maturze liczy się czas. Pozdrawiam Jakubie.

paula: gustlik dobry i szybki sposób dopiero po tym sposobie załapałam ten przykład

Kamil: prosze o wyłmaczenie zadania

cepovic: dopiero sposobem gustlika zajarzylem

komentator OWMH: x² + y² − 4x + 2 y + 1 = 0 tu dodajemy i odejmujemy liczby Δ oraz Ω; tak aby doprowadzić ( x² − 4x + Δ ) = kwadrat różnicy ( y² + 2 y + Ω ) = kwadrat sumy a więc ( x² − 4x + Δ ) + ( y² + 2 y + Ω )+ 1 − Δ − Ω = 0 szukamy Δ oraz Ω tak aby: ( x² − 4x + Δ ) = kwadrat różnicy = ( x − coś₁)²; gdzie (coś₁)²=Δ ( y² + 2 y + Ω ) = kwadrat sumy = ( x + coś₂ )²; gdzie (coś₂)²=Ω robi sie tak: do ( x² − 4x + Δ ) + ( y² + 2 y + Ω ) + 1 − Δ − Ω = 0 ↓ √ ↓ ↑ (2)²=Δ ↓ √ ↓ ↑ (1)²=Ω 2 coś₁ ( x) = 4x ; stąd 2 ; 2 coś₂ ( y) = 2y ; stąd 1 a więc Δ = 4; Ω = 1 stąd ( x² − 4x + 4 ) + ( y² + 2 y + 1 ) + 1 − 4 − 1 = 0 ( x − 2)² + ( y + 1)² = 4 środek okręgu (2;−1) a promień okręgu 2

Gustlik: Oj, komentatorze − po co komplikujesz coś, co prosto wytłumaczyłem i robisz innym wodę z mózgu? To właśnie Twoją metodą rozwiązuje się to w szkołach i jeden na milion kuma, o co w tym biega z tym dodawaniem i odejmowaniem wg uczniów z kosmosu wziętych liczb.

Amy: Nie wiem jak to zrobiłeś , ale zrozumiałam to ! Dzięki bardzo ! Sposób jest prosty, a jak patrze na sposób komentatora, starał się chłopak ,ale antytalenty matematyczne, takie jak ja w życiu nic z tego nie zapamiętają, a nawet nie wiem czy coś zrozumieją Pozdrawiam !

Olenka: nooo a jak rozwiązać coś takiego: Środek okręgu o równaniu x² – 12x + y² + 10y = 0 ma współrzędne: a. ( − 12, 10 ) b. ( 12, − 10 ) c. ( 6, − 5 ) d. ( − 6, 5 ) która odpowiedź? iii spokojnie, wiem, że ten wzór nie pasuje za bardzo do rozwiązania, ewentualnie pewnie dałoby się jakoś przekształcić... ale nie wiem jak i nie chcę się męczyć i główkować z góry dziękuję

Olenka: okkk juz nie trzeba, to jednak ten wzor, a wystarczy poprzestawiac te cale wyrazy, dzieki za wzor

Gustlik: Robisz tak samo: x2 + y2 – 12x + 10y = 0 Podstaw do wzorów A=−12, B=10, C=0 − zawsze brakujący współczynnik = 0.

Sim0n: Skad sie wziela ta "−4" z ostatniego przykladu? bo pierwsza z wzoru skroconego mnozenia

Jakub: Najpierw dopisałem −4x koło x², a następnie dopisałem + 4 − 4. Jak widzisz 4 − 4 to 0, a 0 zawsze mogę dodać, bo to nic nie zmienia. Zrobiłem to po to, aby otrzymać x²−4x+4 i zwinąć to ze wzoru skróconego mnożenia.

Aleksandra: nie wiem o co chodzi w drugim przykładzie. Skąd się wzięło x²+y²−6y+9−5=0 który ze wzorów sm jest zastosowany? nie widzę tego..

Jakub: x²+y²−6y+4 = 0 x²+y²−6y+9−5 = 0 Wiem, że y²−6y+9 da się zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia, dlatego zamiast 4 piszę 9−5.

ssss: a jak rozwiazac taki przyklad? bo wogole tego nie rozumiem : x2 + y2 −2x+10y+19=0 prosze o jakies szczegoly kompletnie tego nie rozumiem!

Gustlik: x² + y² −2x+10y+19=0 A=−2, B=10, C=19

	A		−2
a=−		=−		=1
	2		2

	B		10
b=−		=−		=−5
	2		2

r=√a²+b²−C=√1²+(−5)²−19=√1+25−19=√7 S=(1, −5), r=√7 (x−1)²+(y+5)²=7

ssss: dzieki jestes wielki

lolek: mam wsp 3 punktów XYZ leżących na sferze i promień R sfery...... Jak obliczyć środek sfery ?

soviak: chłopie siedziałem nad tymi zadaniami kilka godzin i nic nie zrozumiałem a dzięki tym wzorom jakoś to się proste zrobiło dzieki bardzo pozdrawiam

Bogusia: Dzięki za tę stronkę, duża Buśka w Twoją stronę

Margo: Gustlik jesteś wielki !

maturzystka: dziękuję z całego serca Gustlik metoda dziwna nie spotykana i pewnie moja nauczycielka od matematyki bedzie miała zwyczajowe "ale" jednak na maturze nie bede miała jej a za to twój pomysł na rozwiazanie zadania z pewnością

Gustlik: Wyprowadziłem jeszcze wzory na elipsę: Równanie ogólne elipsy: Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 (1) Równanie kanoniczne elipsy:

(x−xs)2		(y−ys)2
	+		=1
a2		b2

Jak przeliczyć współczynniki? Półosie: a=√B b=√A (literki pod pierwiastkami na odwrót) Współrzędne środka:

	C
xs=−
	2b2

	D
ys=−
	2a2

Współczynnik E (dla sprawdzenia): E=b²x_s²+a²y_s²−a²b² Np. 9x² +25y² +18x−100y−116=0 a=√B=√25=5 b=√A=√9=3

	C		18		18
xs=−		=−		=−		=−1
	2b2		2*32		18

	D		−100		100
ys=−		=−		=		=2
	2a2		2*52		50

Współczynnik E=b²x_s²+a²y_s²−a²b²=3²*(−1)²+5²*2²−5²*3²= =9*1+25*4−25*9=9+100−225=−116 OK. Jest to elipsa o półosiach a=5, b=3 i środku S=(−1, 2) czyli

(x+1)2		y−2)2
	+		=1
25		9

Boska: O1: x2+y2−4x+6y+4=0 oraz o2:x2+y2−2x+4y+4=0