Ania: We wzorze Sn=a1+an2*n wykorzystujemy S5, dzięki czemu znacznie skrócimy zapis: S5=a1+a52*5 5=a1−32*5/*2 10=5a1−15 5a1=25 a1=5 Różnicę można obliczyć ze wzoru: an=a1+(n−1)r a5=a1+(5−1)r −3=5+4r r=−2 Wykorzystywanie w tym zadaniu S4 jest zbędne i niepotrzebnie komplikuje zadanie.

Jakub: Czekaj, ale przecież w treści zadania nie masz, że a₅ = −3. Nie możesz, więc tego wykorzystać w swoim rozwiązaniu. Właśnie dlatego jest potrzebne S₄ = 8, ponieważ z samego S₈ nie wyliczysz a₁ i r.

Lola: Jeżeli byłoby dane S₃ = 2 i S₅ = 6 to można to jakoś powiązać z a_n = S_n − S_n−1 ?

Anita: Czy można by było użyć w tym zadaniu zamiast S₄, S₅ ?

Jakub: W jaki sposób byś użyła S₄ zamiast S₅?

Gustlik: Tutaj też można rozwiązać na jednej niewiadomej. Mamy dane: S₄ = 8 S₅ = 5 Wyznaczam a₅ tym samym sposobem, co Jakub i otrzymuję: a₅ = −3 (1) Korzystam ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego dla 5 wyrazów:

	a1 + a5
S5 =		*5 (2)
	2

Liczę a₁ z a₅ "cofając się" o 4r, bo od numeru 5 do 1: a₁ = a₅ − 4r ← podstawiam (1) i otrzymuję: a₁ = −3 − 4r (3) Podstawiam (3) i (1) do (2) i liczę sumę na jednej niewiadomej r:

	−3 − 4r + (−3)
S5 =		*5
	2

	−3 − 4r − 3
S5 =		*5
	2

	−6 − 4r
S5 =		*5
	2

S₅ = (−3 − 2r)*5 (4) (skracam −6 − 4r przez 2 z mianownika i otrzymuję −3 − 2r) Przyrównuję tak obliczoną sumę S₅ (4) do 5 (dane z treści zadania) i liczę r: (−3 − 2r)*5 = 5 −15 − 10r = 5 −10r = 5+15 −10r = 20 /:(−10) r = −2 Liczę a₁ "cofając się" o 4r od a₅: a1 = a₅ − 4r a₁ = −3 − 4*(−2) a₁ = −3 + 8 a₁ = 5 Otrzymuję ciąg: a₁ = 5 r = −2

Oski: a jak mam S₆=3, a S₂₀=−130? Jak zacząć w ogóle, skoro nie mogę sobie odjąć i policzyć jakiegoś wyrazu. chyba ?

Gustlik: Wtedy już musisz układem równań, jak masz dwie nie "sąsiadujące" sumy. Robisz tak:

	a1+an
Sn=		*n
	2

a₆=a₁+5r a₂₀=a₁+19r

	a1+a6		a1+a1+5r		2a1+5r
S6=		*6=		*6=		*6=(2a1+5r)*3
	2		2		2

	a1+a20		a1+a1+19r		2a1+19r
S20=		*20=		*20=		*20=(2a1+5r)*10
	2		2		2

Rozwiązujesz układ rownań: { (2a₁+5r)*3=3 { (2a₁+5r)*10=−130 Ominać układ równań mozna tylko wtedy, gdy: a) podane są dwa wyrazy ciągu, niekoniecznie sąsiednie, bo wtedy różnicę liczymy wg zasady a₉−a₅=4r (bo 9−5=4, tyle r−ów ile wynosi różnica numerów wyrazów) i a₁=a₅−4r ("cofamy się" od wyrazu a₅ o 4r), b) podany jest jeden wyraz ciągu (dowolny, nie musi być a₁) albo inne dane pozwalające na szybkie jego obliczenie, np. dwie kolejne sumy dajmy na to S₈ i S₉, c) podana jest róznica r, lub inne dane pozwalające na szybkie jej obliczenie, np. róznica dwóch dowolnych wyrazów, niekoniecznie sąsiednich, np. a₈−a₅=6. Wtedy a₈−a₅=3r (wg zasady z punktu a)) czyli 3r=6 i r=2. Pozostale wyrazy policzymy z jedną niewiadomą a₁.

Gustlik: S₄=8, S₅=5 Mozna to zrobić jeszcze prościej − z wykorzystaniem wyrazu środkowego, można go zawsze wyznaczyć, gdy mamy sumę nieparzystej liczby wyrazów, czyli S₃, S₅, S₇ itp...:

	a1+a5		a1+a5
S5=		*5=a3*5, bo		=a3 (srednia arytmetyczna)
	2		2

Czyli a₃*5=5 /:5 a₃=1

	a1+a4
S4=		*4=(a1+a4)*2=(a3−2r+a3+r)*2=(1−2r+1+r)*2=(2−r)*2=4−2r, bo a1=a3−2r,
	2

a₄=a₃+r − liczę potrzebne wyrazy ciągu w zależności od wyrazu a₃, który już znam. 4−2r=8 −2r=8−4 −2r=4 /:(−2) r=−2 a₁=a₃−2r a₁=1−2*(−2)=1+4=5 Odp: a₁=5, r=−2.

Gustlik: Ten sposób przydaje się, zwłaszcza jeżeli nie byłoby sąsiednich sum, tylko np. S₅ i S₈.

Kamil: A co jak różnica jest większa, np. S₄=8 i S₁2=5 ?

athleta: W tym zadaniu akurat nie rozumiem dlaczego mając dane S₄ i S₅ jako pierwsze wyrazy ciągu, potrzebujemy znaleść a₅ ? A jak byśmy mieli S₅ i S₆ to wtenczas szukamy a₆ ? S₄ i S₅ jako pierwsze wyrazy ciągu, można było by to bardziej wyjaśnić !?

Jakub: Dokładnie. Mając S₅ i S₆ mogę wyliczyć a₆. Mam jednak S₄ i S₅, więc mogę wyliczyć a₅. Piąty wyraz jest najprostszy do wyliczenia z S₄ i S₅, bo wystarczy odjąć S₅−S₄ i już mam.

MrG: a ja zrobiłem to tak :

	a1 + a4
8=		* 4
	2

a₁ + a₄ = 4 − I równanie

	a1 +a4 + r
5 =		* 5
	2

2 = a₁ +a₄ + r − II równanie Równania spiołem klamrą, pomnożyłem przez /−1 i r ładnie wyszło −2

MrG: @Jakub dobrze zrobiłem?

Jakub: Dobrze. Tak też można.

Piotrek: Panie Jakubie czy można jeszcze raz wytłumaczyć dlaczego nie można zrobić tego tak jak Ania napisała w 1 poście? Wyliczyłem a₅ z różnicy S₅ − S₄. Następnie podstawiam to a₅ do wzoru na sumę i mam wtedy tylko jedną niewiadomą a₁. Po wyliczeniu podstawiam do wzoru na piąty wyraz ciągu i mam wynik. Co jest w tym złego?

Jakub: Tak jak Ty to napisałeś, można robić. Jeśli nigdzie się nie pomyliłeś w obliczeniach, powinieneś otrzymać taki sam wynik jak mój.

szalony: Ja ułożyłem układ równań ze wzorem s4 i s5 i też pięknie wychodzi

Zuza: Przyznam szczerze, że nie rozumiem dlaczego S₅−S₄ = a₅ , nie klei mi się to.Sprawdziłam na prostym ciągu i zależność nie zadziałała.Nie twierdzę że jest to nieprawdziwe bo matematyk ze mnie żaden, po prostu tego nie rozumiem...

filip[: a czy moze być tak S4= 8 s5=5 a4= a1+3r a5=a1+ 4r 8= (a1+a1+3r)*4 5= (a1+a1+4r)*2.5 itd.

Jakub: Może być. Tylko jedna pomyłka. Powinno być 8 = (a₁ + a₁ + 3r) * 2, bo tak wynika ze wzoru na sumę.

Jakub: @Zuza S₅ − S₄ = = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ − (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) = = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ − a₁ − a₂ − a₃ − a₄ = = a₅