paula: Świetnie wytłumaczone, szacunek dla tego, kto to robił

Beata: ja mam pytanie dlaczego an = n²+4n+1 rozpisuje się a_n+1=(n+1)² a nie samo (n+1)

Jakub: Do wzoru a_n = n²+4n+1 wstawiam n+1 w miejsce każdego n i otrzymuję: a_n+1 = (n+1)²+4(n+1)+1 = n²+2n+1+4n+4+1 = n²+6n+6

Hustek: Beata − bo to jest wzor skroconego mnozenia

Gustlik: Jest jeszcze drugi sposób badania monotoniczności: 1. Robię funkcję z ciągu liczbowego, tj. do wzoru ciągu wstawiam x za n i y za a_n, 2. Badam, jak zachowuje się ta funkcja przy założeniu, że dziedziną są liczby naturalne dodatnie − korzystam tu z własności tej funkcji, a jeżeli trzeba − rysuje przyblizony wykres i odczytuję z wykresu. Rozwiążę dwa przykłady z tej strony: 1. a_n=3n−2 Robię funkcję z ciagu, zakładając, że x€N₊: y=3x−2, D=N₊ Jest to zwykła funkcja liniowa y=ax+b. Z własności funkcji wiemy, że jeżeli współczynnik kierunkowy a>0 to funkcja jest rosnąca, a jak a=0, to funkcja, stała, a jak a<0 to funkcja jest malejąca. U nas a=3>0, zatem funkcja jest rosnaca, a więc ciąg jest też rosnący. 2. a_n=n²+4n+1 Czyli mamy funkcję y=x²+4x+1, zakładam, że dziedzina D=N₊. Jest to funkcja kwadratowa. Ponieważ funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w wierzchołku paraboli (konkretnie: dla

	−b
x=p), to liczę współrzędną xw=p=		, w celu "zlokalizowania" tego wierzchołka:
	2a

	−4
p=		=−2
	2

Jak widać wierzchołek paraboli leży po "ujemnej" stronie osi OX, a parabola ma ramiona skierowane w górę, bo a>0. Zatem funkcja ta maleje dla x€(−∞, −2> i rośnie dla x€<−2, +∞). Dziedzina ciągu obejmuje więc część prawego ramienia paraboli, czyli mieści się w tym drugim przedziale, gdzie funkcja jest rosnąca, zatem ciąg ten jest również rosnący. Można sobie tutaj narysować przybliżony wykres − parabolę i odczytać własności z wykresu. W podobny sposób można badać również inne ciągi, w zależności od wzoru będziemy mieli funkcję

	a
liniową, kwadratową, homograficczną (hiperbola typu y=		, może byc przesunięta) czy
	x

wykładniczą i korzystając z własności tych funkcji badamy ich zachowanie w zbiorze N₊. Wyjatek stanowią tutaj ciągi liczbowe zawierające potęgi ujemnych liczb, czyli wyrażenia typu (−1)ⁿ, (−2)ⁿ⁺¹ itp., tych ciągów nie można badać za pomoca funkcji (ujemnych liczb bie można podnosić do niektórych potęg o niecałkowitym wykładniku), ale wiemy, że potęgi ujemnych liczb są dodatnie, jeżeli wykładnik jest parzysty, a są ujemne wówczas, jeżeli wykładnik jest nieparzysty, otrzymamy zatem ciągi naprzemienne o wyrazach dodatnich i ujemnych na zmiane, np. 1, −2, 4, −8 itp. A taki ciąg nie jest monotoniczny. Gdyby tego typu wyrażeń we wzorze było więcej, np. (−1)ⁿ*(−2)ⁿ⁺¹, to badamy "tradycyjną" metodą.

Gustlik: Wyjątek stanowią tutaj też ciągi zawierające wyrażenia typu n!, (n−1)!, ale w niektórych ciągach te silnie można poskracać i powstają wówczas wzory funkcji wymiernych, np. homograficznej, a te już można badać za pomocą własności odpowiedniej funkcji.

Beata: super , nie mogłam tego nigdy zrozumieć a dzieki temu zrozumiałam wszystko . wielki szacun

kama: nom,na prawde ekstra wytłumaczone

Mati: Mam jedno pytanie , dlaczego z (3n+1) − (3n−2) robi się (3n+1) − (3n+2) ?

Jakub: Może to rozpiszę dokładniej. (3n+1) − (3n−2) = (3n+1) −1(3n−2) = 3n+1 − 3n + 2 = 3 Mnożę przez −1 zawartość drugiego nawiasu, czyli 3n oraz −2 i wychodzi −3n oraz +2.

Ola: Mam pytanie. an=5−7n an+1=5−7(n+1)=5−7n−7=−7n−2 A więc mój problem polega na tym, że nie wiem czemu 5−7(n+1) równa się =5−7n−7 zamiast: 5−7(n+1)=5−7n−6 Tak wychodzi w moim rozumieniu, co Wy na to?

marzii: ten co stworzył tą stronkę jest genialny! wreszcie skumałam jak zbadać monotoniczność ciągu i to w zaledwie 10 minut. wielkie dzieki. oby tak dalej. pozdrawiam

anka: w ostatnim przykładzie n²+4n+1 róznica wychodzi 2n+5 a zatem zależy od n, czyli nie jest liczbą stałą, a to znaczy, że nie jest to ciąg arytmeyczny. A skoro nie jest arytemtyczny, to dlaczego określamy monotoniczność ?

Rafio: @anka Zauważ, że n∊(1,∞) − zbiór liczb naturalnych dodatnich. Wtedy wyrażenie 2n+5 zawsze jest >0.

Rafio: Miało być n∊{1,2,3,...} − zbiór liczb naturalnych dodatnich.