Gustlik: Masz bardzo dobry i przejrzysty sposób na rysowanie wykresów wielomianów. Nie wszyscy nauczyciele go stosują. Ja wcześniej zetknałem się z metodą rysowania np. paraboli i prostej lub dwóch parabol (w zależności od czynników, na jakie rozłożony był wielomian) i badania znaku wielomianu przez badanie znaku czynników składowych, np. liniowych czy kwadratowych. Ja tę metodę rozumiem, ale uważam ją za okrężną, dla uczniów nie zawsze jest ona zrozumiała. Inny sposób, z którym się zetknąłem zależał od stopnia wielomianu: stopień nieparzysty to wielomian idzie "rosnąco" gdy a>0 i "malejąco" gdy a<0, przy czym a oznacza współczynnik przy najwyższej potędze x (analogia do funkcji liniowej). Natomiast stopien parzysty to wtedy analogia do funkcji kwadratowej − wielomiany stopni parzystych mają wykresy przypominające kształtem literę W. Jak a>0 to "W" ramionami w górę, jak a<0, to "W" ramionami w dół, czyli "M". Twój sposób jest najlepszy, bo wystarczy znać tylko jedną zasadę: a>0, to zaczynamy z prawej od góry, a<0 − z prawej od dołu. Wynika to z tego, że każdy wielomian dąży do +∞ przy a dodatnim i do −∞ przy a ujemnym.

Jakub: Też się zetknąłem z rysowaniem wielomianów od lewej strony i rozważaniem stopni parzystych i nieparzystych. Jest to dużo trudniejszy sposób. Stosunkowo często jest stosowany chyba tylko dlatego, że większość ludzi jest przyzwyczajona rysować od lewej do prawej strony i na siłę próbuje to robić także dla wykresów wielomianów.

Bukmacher : Super może jutro dostanę dwóję bo coś zaczynam kumać

zodiak: Panowie ten sposób rysowania wielomianów od lewej strony, który opisał Gustlik mnie przeraził mimo, że jestem leworęczny i dla mnie mogłoby być łatwiejsze rysowanie od lewej strony

Jakub: Rzeczywiście jest trochę skomplikowany i aż dziw, że całkiem często spotykany. Później muszę przekonywać ludzi, że jest prostszy sposób. A oni i tak chcą jak nauczyciel.

Enived: warto zmienić! jeżeli wielomian się zaczyna od liczby dodatniej czy ujemnej na jezeli znak przy najwyzszej potedze wielomianu jest dodatni czy ujemny to: rysujemy od gory albo od dolu

Jakub: Dlaczego uważasz, że warto? Nie widzę, dlaczego twoje sformułowanie byłoby jaśniejsze.

Adam: Czyli mam rozumieć że przy rozwiązywaniu nierówności wielomianów mam postępować według tego algorytmu? tak ?

Jakub: Zgadza się. Postępując według tego algorytmu dobrze rozwiążesz nierówność. Warto się zastanowić, nad każdym krokiem tego algorytmu. Tam wszystko ma swoje uzasadnienie i warto to rozumieć. To nie jest jedyny algorytm rozwiązywania nierówności wielomianowych. Są też inne. Ten jednak wydaje mi się najprostszy.

Gustlik: Wiesz co, Jakubie? Proponuję nazwę dla Twojej (i jednocześnie mojej) metody rysowania wykresów wielomianów: "reguła prawego ramienia". Nazwa wzięła się stąd, ze jak współczynnik "kierunkowy" a_n wielomianu (ten przy najwyższej potędze x − czyli pierwszy wyraz) jest dodatni, to prawe ramie wykresu jest skierowane do góry, a jak ten współczynnik jest ujemny, to prawe ramie skierowane jest w dół − jak tak tłumaczę to uczniom. Druga sprawa, na którą warto zwrócić uwagę, to zachowanie się wykresów wielomianów w zależności od stopnia, a właściwie od tego, czy stopień jest parzysty czy nieparzysty. Dla wielomianów stopnia nieparzystego ramiona wykresu skierowane są w przeciwne strony (np. prawe ramię w górę, a lewe w dół albo na odwrót) − jest to analogia do funkcji liniowej (wielomian stopnia 1), ponieważ tak samo zachowuje się prosta. Dla wielomianów stopnia parzystego ramiona wykresu skierowane są w tę samą stronę (oba w górę albo oba w dół) − jest to analogia do funkcji kwadratowej (wielomian stopnia 2), ponieważ tak samo zachowuje się parabola. Ta własność umożliwia znalezienie błędów przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych − jeżeli dany wielomian jest np. stopnia parzystego, a ramiona wychodzą w przeciwne strony, to znaczy, że uczeń mógł popełnić błąd przy ustalaniu krotności pierwiastków (np. odbił wykres, tam, gdzie powinien on przeciąć oś), zgubił któryś pierwiastek albo zaznaczył za dużo pierwiastków − np. zaznaczył 0, mimo iż nie było ono pierwiastkiem wielomianu. To zaznaczanie zera na osi liczbowej to efekt nauczania przez nauczycieli rozwiązywania nierówności liniowych − wielu z nich każe zaznaczać 0 i liczbę będącą rozwiązaniem nierówności, a potem nanieść przedział liczbowy. O ile w nierównościach liniowych pomyłki raczej z tego powodu nie będzie, o tyle przy wielomianach, gdzie jest co najmniej kilka pierwiastków uczniowie odruchowo zaznaczają 0 i omyłkowo potem prowadzą przez to 0 wykres i błąd mamy jak w banku. Szczerze mówiąc ja walczę z tym, bo nie ma sensu zaznaczać zera tam, gdzie nie jest ono rozwiazaniem.*******

anonim: nie jestem pewny czy dobrze myślę, ale w pewnym przykładzie ta metoda chyba nie działa: 5x(x+3)(2−x)>0 wykres powinien zaczynać się od góry tymczasem zaczyna się od dołu

anonim: chyba zrozumiałem po wymnożeniu przy najwyższej potędze musi być współczynnik dodatni. Ta pomyłka wynika z tego że po rozłożeniu na czynniki przy x zawsze jest plus a nie ma przykładu np (3−x)

mi: Dodam od siebie, że wykres w rzeczywistości nie 'odbija się' ostro (jak np przy wartości bezwzględnej), ale łagodnie dotyka osi − w miejscu zerowym (rysunek). Jednak jeśli nie chodzi o wykres a jedynie o rozwiązanie nierówności, to można sobie w uproszczeniu narysować, że wykres wielomianu się odbija.

Chotkos: ja tam zwykle przerzucam wszystko na lewą stronę, tworzę z tego nowy wielomian i rysuję do niego wykres − mniej rysowania

Quwerty: Przepraszam, mógłby ktoś mi powiedzieć co to znaczy, "wielomian zaczyna się od liczby dodatniej/ujemnej"? np: jeżeli −x(x−3)(x+2), zapisałbym tak (x−3)(x+2)(−x), to by było to samo a zaczyna się od innego znaku czyli wykres rysujemy z różnych stron Proszę o pomoc

Jakub: Pisząc o wielomianie, zaczynającym się od liczby dodatniej (ujemnej), miałem na myśli wielomian w postaci ogólnej np. −x³+3x²+5x+1 (zaczyna się od liczby ujemnej). Mając (x−3)(x²+2)(−x) muszę wszystko wymnożyć, albo szybciej wymnożyć tylko x, ponieważ interesuje mnie tylko liczba przy największej potędze x * x² *(−x) = −x⁴ Wielomian zaczyna się od liczby ujemnej, dlatego rysujesz z prawej strony od dołu.

Quwerty: Ok, wszystko jasne, dzięki, pozdro

Gustlik: Litera a oznacza wspólczynnik pierwszego wyrazu wielomianu − tego przy najwyższej potędze x, jest on swego rodzaju "wspólczynnikiem kierunkowym" tego wielomianu, bo od niego zależy kierunek wykresu. Przykład wykresu wielomianu stopnia nieparzystego (na rys. 1 z lewej a>0, na rys. 2 z lewej a<0) − ramiona wykresu skierowane są w przeciwne strony. Taką własność mają wszystkie wielomiany stopni nieparzystych. Widać tu analogię do funkcji liniowej y=ax+b niestałej (st. 1) − "ramiona" prostej też są "skierowane" w przeciwne strony.

Gustlik: Przykład wykresu wielomianu stopnia parzystego (na rys. 1 z lewej a>0, na rys. 2 z lewej a<0) − ramiona wykresu skierowane są w te same strony. Taką własność mają wszystkie wielomiany stopni parzystych. Widać tu analogię do funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c (st. 2) − ramiona paraboli też są skierowane w te same strony − albo oba w górę, albo oba w dół.

imralav: A jak pierwszy wielomian rozłożyć na pierwiastki? x⁴ − 2x³ + 5x > 0 ?

Jakub: x(x⁴ − 2x² + 5) > 0 x((x²)² − 2x² + 5) > 0 dalej z delty i postaci iloczynowej

imralav: Zabierając z x⁴ jeden x zostaje x³ przecież. Dalej nie widzę rozwiązania.

imralav: To nabiera większy sens, gdy: x⁴ − 2x³ + 5x > 0 x²(x² − 2x) + 5x > 0 i dopiero z tego deltę: Δ = 25 i teraz: x₁ = ⁻¹⁰_{2x² − 4x} x₂ = 0 Może tak to powinno wyglądać?

Jakub: No tak. Moja pomyłka. Powinno być x⁴ − 2x³ + 5x = x(x³ − 2x² + 5). Jednak taki wielomian trzeciego stopnia trudni jest rozłożyć. Jak Ty imralav wyliczyłaś deltę?

Paweł: mógłbyś Jakubie, albo ktoś inny zrobić ten pierwszy przykład ?

Paweł: mi delta wychodzi −16, ale jak jest − to nie można wyznaczyć nic, więc koniec przykładu?

inge: czy mozna podzielic przez (x−1)?

aga: takie zadanko: x²−2x−5<⁶_x może ktoś się skusi rozwiązać?

aga: przepraszam...nierówność będzie <−⁶_x

Wojtek: Wracając do rozpoznawania, czy rysować wykres od góry czy od dołu: Mając (x−3)(x²+2)(−x) czy nie łatwiej będzie (zamiast mnożyć) sparwdzić znaki poszczgólnych nawiasów? Przykład (x−3)(x²+2)(−x) + + − Dlaczego tak? Teoretycznie podstawiamy za x "∞" i sprawdzamy czy wynik będzie dodatni czy ujemny: (x−3) −> ∞ −3 będzie dodatnia, tak więc + (x²+2) −> ∞² +2 będzie dodatnie, tak więc + (−x) −> (−∞) będzie ujemne, tak więc − +*+*− = − Wielomian jest ujemny, dlatego zaczynamy rysować z prawej strony od dołu. Dobrze myślę?

Mateuszek :): Witam Dla mnie ta cala matematyka wyglada mniej wiecej tak: Pewien tokarz dostal polecenie wykonania jakiegos elementu z metalu o wytrzymalosci 150 MPa.Predkosc obrotowa wrzeciona tokarki wynosi 1500 obr/min a posow suportu wynosi 1m na godzine.Oblicz wzrost i wiek tokarza czyli w skrocie mowiac...czarna magia

Jakub: Nie chce mi się wierzyć, że wiesz co to jest MPa, a nie potrafisz zrozumieć rozwiązywania prostych nierówności wielomianowych.

Jakub: @Wojtek Dobrze myślisz.

k: moglibyście mi wytłumaczyć jak rozwiązać taką nierówność: x⁵ + 2x⁴ + 3x³ + 2x² (mniejsze/równe) 0 ?

fhff: Czy mógłby ktoś napisać dowód, że dla pierwiastków nieparzystych wykres przecina oś, a dla parzystych nie?