Asia: Witam Cie Jakubie, bardzo pomocna jest Twoja stronka i gratuluję pomysłu. Znalazłam jednak na niej mały błąd: Nie wyznaczono dziedziny w tym przykładzie, czyli log_¹2x>0 (zgodnie z warunkiem dla liczby b) więc x>1, Z tego wynika, że wynik x=¹₂ nie należy do dziedziny , zatem równanie nie ma rozwiązań.. pozdrawiam.. ps. w żadnym z tych przykładów z podwójnym logarytmem nie wyznaczono dziedziny, więc proponuję to uzupełnić

Jakub: Witam! Masz nierówność log_¹2x > 0. Jej rozwiązaniem są x>0, a nie jak napisałaś większe o 1. Wynika to z definicji logarytmu. Logarytmować możemy każdą liczbę większą od 0. Tak więc rozwiązanie jest dobre. Dlaczego w tych zadaniach nie wyznaczam dziedziny? Dlatego, że to są zbyt proste równania. To po pierwsze. A po drugie i ważniejsze. Rozwiązując te równania, ja wprost korzystam z definicji. W tym przykładzie o którym piszesz, x wyznaczyłem tak x=(¹₂)¹=¹₂ (potęga dodatniej podstawy nie może wyjść ujemna) Kiedy więc wyznaczać dziedzinę? Wtedy gdy masz po obu stronach logarytmy o tej samej podstawie i je opuszczasz. W takich przypadkach musisz mieć wyznaczoną dziedzinę. Powodzenia W ogóle w równaniach z logarytmami z dziedziną jest kłopot. Często jej wyznaczanie jest dłuższe niż rozwiązywanie równania.

gbf:

Margo: Właśnie chciałabym się zapytać gdzie autor wyznacza dziedzinę?

Jakub: Napisałem już, dlaczego nie wyznaczam dziedziny.

filip: w drugim przykładzie jest tak: x = √4 x = 2 Moim zdaniem to błąd, który przypadkowo wyszedł dobrze. a jeśli to jest świadome, to bardzo mylące i na pewno niepoprawne. powinno być: x = √4 x = 2 lub x = −2 (nie nalezy do dziedziny) ostatecznie: x=2

filip: PS Swietna strona, jedyna taka w necie, bardzo mi pomaga. Pozdrawiam

Jakub: Wynikiem √4 jest tylko jedna liczba: √4 = 2 Nigdy pierwiastek z 4 nie może się równać −2. Chyba pomyliło ci się z rozwiązaniem równania x²=4. Wtedy faktycznie są dwie możliwe odpowiedzi 2 i −2. Zacytuję definicję pierwiastka wziętą z zestawu wzorów na maturę 2010: Pierwiastkiem arytmetycznym ⁿ√a stopnia n z liczby a≥0 nazywamy liczbę b≥0 taką, że bⁿ=a. Jak widzisz, wynikiem pierwiastka może być tylko liczba dodatnia lub zero. Wszystkie wzory tutaj: http://www.cke.edu.pl/images/stories/09_MATURA_proba_mat/tablice.pdf

Mika: witam mam problem z jednym przykładem a mianowicie z tym: ln(lnx)=0 logarytmy rozumiem ale nie mam pojęcia o co chodzi w tym przekładzie... proszę wytłumaczcie mi to ale tak po ludzku...

Jakub: Korzystam z definicji logarytmu. W skrócie: jeżeli log_ab = c to b = a^c. Zapis ln oznacza, że to jest logarytm naturalny (zobacz 217). Jest to skrót od log_e. ln(lnx) = 0 log_e(log_ex) = 0 log_ex = e⁰ (z definicji) log_ex = 1 x = e¹ (znowu z definicji) x = e

Mika: dziękuje za pomoc stronka bardzo pomocna....

Skizzo: jak obliczyc załozenia dla przykładu log₃( log₅x + 7 ) = 2 nastepnie mamy x >0 i log₅x + 7 >0 chodzi mi tu o to drugie załozenie

Jakub: log₅x + 7 > 0 log₅x > −7 log₅x > log₅5⁻⁷ x > 5⁻⁷

Skizzo: dzieki

Piotrek: witam, nie wiem skąd wzięło się 3⁰ w pierwszym przykładzie.... dzieki z gory za pomoc

Piotrek: albo juz nie trzeba domyslilem sie sam hehe

zakochana w matmie: w przedostatnim przykładzie liczba 25 jest jedynym rozwiazaniem czy liczba x=1953118 uzyskana bez przenoszenia liczby −7 na prawą strone tez jest dobrym rozwiązniem?

Jakub: Jak rozumiem, rozwiązałaś to w ten sposób: log₅x+7 = 9 x+7 = 5⁹ x = 5⁹−7 = 1953118 Nie jest to prawidłowo, ponieważ log₅x+7 to nie jest to samo co log₅(x+7). Wyrażenie log₅x+7 oznacza, że najpierw trzeba zlogarytmować, a dopiero później dodać do wyniku 7. Oczywiście x nie zlogarytmujesz (nie zapiszesz wyniku), bo to nie liczba, więc log₅x+7 prościej nie zapiszesz. Podobnie w równaniu 2x+7 =10 nie wolno najpierw podzielić przez 2.

maturzysta 2011: Dlaczego w dziedzinie kryje się LICZBA e? Czy w przeciw dziedzinie też ona jest Czy Granica pomiędzy nimi jest taka sama

kkkasiula: to ja już nie wiem jak jest z tymi założeniami u nas zawsze sorka bez zapisania założeń dawała 0 pkt czyli kiedy się te założenia pisze a może zapisanie ich nie było by błędem w razie wu żeby nikt się nie czepiał ?

Jakub: Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych policzenie dziedziny jest często bardziej skomplikowane niż samo równanie. Przykładowo jak mam log₃(log₂(5x−2)) = 0 aby policzyć dziedzinę powinienem rozwiązać dwie nierówności 5x−2 > 0 i log₂(5x−2) > 0. To dłużej trwa niż rozwiązanie całego równania log₃(log₂(5x−2)) = 0. W tym równaniu korzystam jedynie z definicji, a nie innych wzorów logarytmicznych, więc dziedzinę nie muszę liczyć. Jeżeli jednak ktoś chce się upewnić, że dobre (w dziedzinie) wyniki otrzymał może podstawić wynik do równania. Przykładowo z równania log₃(log₂x) = 0 mam wynik x = 2, więc go sprawdzam log₃(log₂2) = log₃1 = 0 Wynik x = 2 jest prawidłowy. Tak jest w równaniach. W nierównościach logarytmicznych nie ma tego luksusu i dziedzinę trzeba liczyć.

Tomasz: Świetna strona, Dzięki Jakub

Olo: jak to jest że z 4¹/2 zrobił się √4

licealistka: przykład 2. log₂(log₄ x)=−1 log₂(log₄ x)=−log₂ 2 log₄ x =−2 log₄ x=−2log₄ 4 x=4⁻² x= 1/16?

licealistka: oops... Przepraszam, to przez zmęczenie przed−maturalne Już widzę mój błąd.. −log₂ 2 to nie jest tak jak zrobiłam czyli −2 tylko 2⁻¹