anita: czemu nagle jest x−2=1 i x−2=3? skąd się wzięło to 1 i 3?

Jakub: Dopisałem jeszcze jedną linijkę: 2^x−2 = 2¹ 2^x−2 = 2³ Teraz już powinno być jasne.

karolina: Skąd sie wzieła 2 w rozwiązaniu? w drugiej linijce przed 16?

karolina: juz rozumiem

Tomek: .... −5 * 2^x−2 * 2 + 16 = 0 dlaczego przy 2 jest potega x−2,a nie x−1 i skad wziela sie ta 2

Jakub: Potęgę 2^x−1 rozbiłem na iloczyn 2^x−2 * 2¹. Mogłem tak zrobić, ponieważ 2^x−2 * 2¹ = 2^x−2+1 = 2^x−1 Chciałem mieć w równaniu tylko potęgi 2^x−2, ponieważ mogę później podstawić za nie zmienną pomocniczą t.

Tomek: Dzięki wielkie

Skizzo: ja to zrobiłem troche inaczej 2^{2x − 4} − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 2^{2(x − 2)} − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 2^{2(x − 1 − 1)} − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 4^{(x − 1 − 1)} − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 4^{(x − 1)} * 4⁻¹ − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 (2²)^{(x − 1)} * 4⁻¹ − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 (2^{x − 1})² * 4⁻¹ − 5 * 2^{x − 1} + 16 = 0 i teraz wprowadziłem zmnienna t = 2^{x − 1} i dalej licze tak samo wynik jest taki sam ale czy ten zapis jest poprawny chodzi mi tu o przekształcenia ktorych dokonałem oczywiscie twoj sposob jest o wiele szybszy

Skizzo: a i jeszcze jedno w zapisie jest chuba bład poniewaz a^x * a^y = a^{x + y} wiec jesli mamy (2^{x − 2})² − 5 * 2^{x − 1} * 2¹ + 16 = 0 to te jedynki sie zredukuja zatem powinno byc (2^{x − 2})² − 5 * 2^{x − 1} * 2⁻¹ + 16 = 0

Jakub: Twój sposób jest też poprawny. Zresztą wychodzi taki sam wynik . Jeśli chodzi o błąd, to w moim rozwiązaniu go nie ma, bo ja mam 5*2^x−1 = 5 * 2^x−2 * 2, co jest poprawne. Chyba o to ci chodziło?

Incubus: Jakubie, musisz powołać się na różnowartościowość funkcji wykładniczej

Jakub: Zgadza się. Rozwiązując równania 2^x−2 = 2 i 2^x−2 = 8, korzystam z tego, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Nie sądzę jednak, aby trzeba o tym pisać. Rozwiązując różne równania w matematyce, często korzystamy z tej własności. Trudna za każdym razem o tym pisać. Oczywiście jak napiszesz, to nie zrobisz błędu. Ja jednak wolę zostawić rozwiązanie w uproszczonej postaci.

Incubus: Nauczycielka mówiła nam, że przy przechodzeniu z postaci 2^x−2=2 do x−2=1 należy napisać że funkcja (w tym przypadku) jest rosnąca, ponieważ na maturze są odejmowane punkty niestety

Jakub: Chodziło ci o "różnowartościowa" a nie "rosnąca". Tak jak pisałem. Jeżeli twoja nauczycielka to wymaga, to pisz tak w rozwiązaniu. To jest poprawne i na pewno nie zaszkodzi. Ja jednak nie mogę dopisać tego w swoim rozwiązaniu, ponieważ ludzie by się zaczęli zastanawiać, co to znaczy różnowartościowość. Takiego pojęcia nawet nie ma w informatorze maturalnym https://matematykaszkolna.pl/strona/informatorZmatematyki.pdf Plik pdf możesz szybko przeszukać. Nie ma słowa "różnowartościowość" lub "różnowartościowa". Pojęcia funkcji różnowartościowych wypadło z materiału wymaganego do matury. Kiedyś było i pewnie dlatego twoja nauczycielka to wymaga.