Tomek : Mam pytanko, dlaczego jeśli pole się obliczy jako druga współrzędna wierzchołka to wychodzi 26 a nie 25? Przecież x_w odpowiada y_w ?

Jakub: Napisz, jak ci wychodzi to 26.

Zocha: mogli byscie zrobic wykres ? prosze !

Jakub: W tym zadaniu wykres to sobie wyobrażam. Jak chcesz, to jedna możesz go sobie narysować tak jak tutaj 1380.

misiek: a rozwiazanie : twierdzenie: różne prostokąty dla tych samych wartosci obwodu mają największe pole jeżeli ich boki są równe. Dowód: jezeli mamy prostokąt o obwodzie 10, to prostokąt będący kwadratem o bokach 5 będzie mial najwieksze pole ze wszystkich prostokątów o takim samym obwodzie 10, poniewaz: 5*5 = 25, 4*6=24, 3*7= 21, 2*8=16, 1*9=9. wiec a=b=x x²=25 x = √25 x=5.

misiek: Ale przeciez nie do konca rozwiaznie jest tutaj wazne, tylko prezentacja sposobu rozwiazania pewnego rodzaju zadań, tzn takich gdzie mamy obliczyc dwie zmienne które sa przez siebie mnożone, mając podaną sumę tych zmiennych. Dobrze mysle?

Jakub: Takie sprawdzenie, jakie zrobiłeś dla kilku liczb, jest dobre, ale tylko, aby sobie uświadomić czego tak naprawdę szukam. W twoich obliczeniach widać, że wynik 5*5 jest największy, a pozostałe iloczyny są mniejsze. Problem polega na tym, że ty sprawdziłeś to tylko dla kilku par. Nie sprawdziłeś np. 5,2*4,8 lub 5,1*4,9. Sam widzisz, że takich liczb z ułamkami mogę wypisywać w nieskończoność, a nieskończenie wiele par nie sprawdzisz. Dlatego wypisanie tych kilku par nie jest dowodem. Ja wyprowadziłem wzór na pole P=−x²+10x i obliczyłem jego największą wartość, która dla paraboli jest w wierzchołku. Ten wzór obejmuje nieskończenie wiele par liczb, bo x może być dowolną liczbą. Tak tylko wyjaśniam, dlaczego robię tak jak robię. To jest standardowa metoda, ale większość osób nie zastanawia się, dlaczego tak, a nie inaczej. Przynajmniej w komentarzach to wyjaśnię

misiek: tzn ze nie moge wypisac wszystkich wartosci, tzn nie moge "udowodnic" ze zawsze z róznych prostokątów o takim samym obwodzie ten mający boki o takiej samej dlugosci, czyli de facto będący kwadratem, będzie mial najwieksze pole, bo nie moge wypisac wszystkich iloczynów dwóch boków prostokąta, np tak jak napisales 4,99 * 0,01 itp, poniewaz takich iloczynów jest nieskonczenie wiele, chociaz faktem jest, ze jest to pradziwe twierdzenie. Tzn rozumiem ze rozwiazanie zadania w sposob który jedynie "domniemywa" ze jest tak a nie inaczej nie jest dobrym rozwiazaniem i nalezy rozwiazac zadanie zupelnie? To jest standardowa metoda, ale większość osób nie zastanawia się, dlaczego tak, a nie inaczej. Metody metodami, ale ja wychodze z zalozenia, ze lepiej wiedziec dlaczego rozwiazujemy tak a nie inaczej, bo przeciez absolutnie wszystko w matematyce ma swoje logiczne uzasadnienie i nic nie bierze sie z niczego. tzn mowiac kolokwialnie z powietrza

Jakub: Domniemywanie to tylko postawienie tezy. Dobre na początek. Sprawdziłeś, dla kilku iloczynów i wyczuwałeś, że prawidłową odpowiedzią jest 5*5. Tylko, że to jest matematyka i sama intuicja nie wystarczy. Trzeba konkretnego dowodu. Tak jak napisałem. Nie wystarczy policzyć dla kilku iloczynów, bo jest ich nieskończenie wiele. Wszystkich nie wypiszesz, a tylko wypisanie wszystkich byłoby prawidłowym dowodem. Dlatego lepiej jest zapisać te iloczyny za pomocą wzoru P = −x²+10x i sprawdzić, kiedy on osiąga największą wartość. W ten sposób porównasz nieskończenie wiele iloczynów, bez wypisywania wszystkich (co niemożliwe jest) i wybierzesz największy. Zgadza się. W matematyce wszystko ma swoje uzasadnienie i wszystko można udowodnić. Oczywiście na szkolnym poziomie. W matematyce wyższej jest wiele hipotez, które czekają na matematyka, który zdoła je udowodnić. To są właśnie te "domniemywania". Niby każdy wie, że są raczej prawdziwe, ale porządnego dowodu nie ma, więc nie można takich hipotez nazwać twierdzeniami. Kończę na dzisiaj. Jakby co odpiszę jutro.

Misiek: Rzeczywiście sa tezy w matematyce których nikt nie udowodnił? Nigdy bym nie pomyślał, biorąc pod uwagę dzisiejsza technikę i moc obliczeniowa komputerów. Wracając do zadania, rozumiem więc ze zadania na najmniejsza lub największa wartość można rozwiązywać biorąc pod uwagę nieskończenie wiele możliwości układając równanie kwadratowe, które będzie funkcja kwadratowa, która będzie miała swoje rozwiązanie czyli najmniejsza lub największa wartość w wierzchołku paraboli

Jakub: Z komputerami jest taki sam problem, jak z twoim sprawdzaniem iloczynów. Komputer potrafi sprawdzić miliardy przypadków, problem w tym, że trzeba sprawdzić nieskończenie wiele przypadków, czyli zajmuje to nieskończenie wiele czasu. Wracając do zadania. Jest tak jak piszesz. Jak w zadaniu należy znaleźć coś o największym (najmniejszym) polu, objętości, wartości itd., to zwykle trzeba ułożyć funkcję. Zadania są z poziomu liceum, więc będzie to funkcja kwadratowa, która ma największą (najmniejszą) wartość w wierzchołku.

misiek: Aha. Dzieki za pomoc

konra509: Podobno to, że wielokąt ma największe pole jeżeli jest foremny, jest aksjomatem.

Wiem, że jestem tępa ale..: Czy tylko mi Y wierzchołka wychodzi 25? Jakim cudem wszystkim wychodzi 5? o_o

Ola: Chciałabym odnieść sie do ostatniej odpowiedzi , znaczy wiem czemu w powyzszym zadaniu wyszlo to 5, ale nie wiem czemu liczone jest ze wzoru na p , zamiast ze wzoru na q

Jakub: Litera p (albo x_w) oznacza liczbę, dla której funkcja kwadratowa ma największą/najmniejszą wartość. Litera q (albo y_w) oznacza tą największą/najmniejszą wartość funkcji kwadratowej. W zadaniu chcą, aby znaleźć długość boku prostokąta o największym polu. Nie chcą aby wyznaczać to pole, tylko dla jakiego boku prostokąt ma największe pole. Gdybyś policzyła q, to byś miała wartość tego największego pola, której jednak nie chcą w treści zadania.

zre: −x²+10x wystarczy policzyć pochodną i przyrównać do zera.

Jakub: Z pochodnej oczywiście też się da. Mój sposób jest dla tych, którzy jeszcze nie mieli pochodnych lub ich nie lubią. Dla funkcji kwadratowych da się takie zadania zrobić bez pochodnej. Dla funkcji wielomianowych większego stopnia lub niewielomianowych bywa różne. Raz się da bez pochodnych innym razem ciężko.