nsylan: Bardzo dobrze wytłumaczone, stronka jest bardzo dobra

Dawidek: Bardzo dobra stronka,bardzo mi pomogła!

Gosia: Super strona!

lol: czemu monotonicznosc ciagu geometrycznego badana jest tak samo, jak monotonicznosc ciagu arytmetycznego? : x

Jakub: Monotoniczność ciągu bada się zawsze tak samo niezależnie, czy jest on arytmetyczny, geometryczny, czy jakiś inny. Zawsze sprawdzasz znak różnicy a_n+1−a_n

Szymon: Świetna Stronka

dianka02: Witam, potrzebuje pomocy : jak obliczyć monotoniczność ciągu geometrycznego w podanym przykładzie an= 6*1,2ⁿ Nie mam o tym pojęcia jak to obliczyć

Gustlik: Rozwiążę za pomoca funkcji:

	1
1. an=
	n

	1		a
Mamy funkcję y=		. Z własności funkcji homograficznej y=		wynika, że jeżeli a>0 to
	x		x

funkcja jest malejaca przedzialami, a jak >0 to jest rosnąca przedzialami. Zatem funkcja jest malejąca przedzialami. Dziedzina tego ciągu (N₊) obejmuje prawą gałąź hiperboli, zatem ciąg jest malejący.

	7n−5
2. an=
	3n−1

	7x−5
Mamy funkcję homograficzną y=
	3x−1

Przekształcam te funkcje do postaci kanonicznej, aby ustalić położenie hiperboli:

7
3

−−−−−−−−−−−−−−−−− (7x−5):(3x−1)

	1
−7x+2
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	2
−2
	3

	1		2   −2   3		2   −2   3		1
Zatem f(x)=2		+		=		+2
	3		1   3(x− )   3		1   3(x− )   3		3

	1
Z wyrazenia (3x−1) w mianowniku wyciągnalem tutaj 3 przed nawias , stąd 3(x−		), ponieważ
	3

	a
wzór kanonicznyu ma postać y=		+q, zeby ustalić p, to przy x w mianowniku NIE MOŻE BYĆ
	x−p

żadnych współczynników ≠1, stąd to wyciąganie 3 przed nawias − aby został "sam" x.

	2   −2   3		1		1
Jest to funkcja y=		przesunięta o p=		w prawo i q=2		w górę.
	3x		3		3

Ponieważ a<0, wiec funkcja jest rosnąca przedzialami. Asymptota pionowa znajduje sie w punkcie

	1
p=		, zatem przed x=1, dziedzina ciągu obejmuje wiec prawą gałąź hiperboli, ciąg jest
	3

więc rosnący.

Gustlik: Wkradł się chochlik:

	a		a
Mamy funkcję y=		. Z własności funkcji homograficznej y= y=		wynika, że jeżeli a>0
	x		x

to funkcja jest malejaca przedzialami, a jak a<0 to jest rosnąca przedzialami.

Toma: To zadanie ma błąd!

Toma: Albo nasz wykładowca wagarował...

Klaudia: Ja obliczam na podstawie wzoru ciągu na a_n : a₁ i a₂, następnie przeprowadzam równanie a₂ − a₁ i z wyniku wnioskuję, czy ciąg jest rosnący czy malejący

Wiktor: A ktoś potrafi zrobić na tej samej podstawie zadanie: Zbadaj monotonicznosc ciagu : an= n² − n − 2 Odp. wychodzi mi 2n, ale nie wiem co z tym dalej, jak to uzasadnic?

Jakub: Jak wychodzi 2n, to jest to ciąg rosnący, bo 2n > 0 dla każdego n∊N\{0}.

Wiktor: dzięki

Krzysia : a skąd wiemy, że ciąg nie jest monotoniczny ?

Jakub: Nie jest monotoniczny, gdy raz rośnie raz maleje.

Justi: jak wykazać, że ciąg nie jest ani rosnący ani malejący na przykładzie an=|5−n| ?

Aga: (3n+2)(3n−1) dla zera nie będzie dodatnie, czy się mylę?

confused: Czy n zawsze ∊N\{0}?

Jakub: Tak. W ciągach a_n zazwyczaj przyjmuje się, że wyrazy zaczynają się od a₁. Z tego powodu n to każda liczba naturalna oprócz zera.

kutavifon: Mam tylko zbadać monotoniczność ciągu, a nie konkretną różnicę między dwoma wyrazami, więc proszę bardzo − na skróty

	1
an=
	n

	1
an+1=
	n+1

n+1>n

1		1
	<
n+1		n

1		1
	−		<0
n+1		n

Ciąg jest malejący. Skrócić sobie można też to drugie zadanie, wersja dla leniwych:

	7n−5
an=
	3n−1

	7n+2
an+1=
	3n+2

W obu przypadkach mianownik i licznik zawierają 7n oraz 3n, w pierwszym jednak zostaje nam −5 i −1, a w drugim 2 oraz 2. (7n−5)−(3n−1)=4n−4 (7n+2)−(3n+2)=4n Różnica mianownika i licznika jest mniejsza w drugim przypadku, więc mianownik zwiększył się proporcjonalnie bardziej od licznika, toteż wartość ułamka wzrosła. a_n+1 > a_n toteż a_n+1−a_n > 0 ciąg jest rosnący. Trochę to wziąłem na chłopski rozum, ale wynik ogólnie jest dobry − więc myślenie chyba też...