Guest: Świetnie, że opublikowałeś także ten krótki, aczkolwiek niezwykle pomocny materiał filmowy. Dzięki.

Guest_kolejny: Fajna sprawa ta Twoja stronka. Ode mnie duzy respekt stary Z pewnoscia musiales wlozyc w to sporo wysilku. Jedynie zaluje iz nie ma nieco trudniejszych zagadnien − tzn. ponad poziom maturalny Ale i tak wielki plus, Mistrzu !

B@rt: super dzieki

mandi : świetna stronka dzieki

Pi: Świetna stronka. Super wytłumaczone zadania. Dzięki

cichy: swietne ! naprawde bardzo mi sie przydalo do kolosa

Big_G: Godzine siedziałem przed podręcznikiem i próbowałem obczaić o co chodzi z tą indukcją. Wszedłem do ciebie na stronkę i zajęło mi to dosłownie 10 min... już wszystko wiem. WIELKIE DZIĘKI

maruś: Super strona, tak trzymaj.

arek: Ratuje Pan życie setkom, a może nawet tysiącom licealistów! (w tym mi). Gdy nauczyciele mało zrozumiale tłumaczą temat, a książka również nie jest przejrzysta pozostaje ta strona, która jest po prostu niezawodna.

Marta: W jaki sposób zostało wyliczone L=1 w pierwszym punkcie?

Jakub: Równanie n=1 oznacza, że biorę po prostu pierwszy wyraz sumy 1+2+3+...+n, czyli właśnie 1. Zapis L=1, oznacza, że dla n=1 lewa strona jest równa 1.

ttk: tego mi brakowało ! bardzo czytelny zapis dzięki!

Karol: nie rozumiem całego punktu 3. Czy mógłby pan to wytłumaczyć punkt po punkcie czyli dlaczego k,dlaczego +1+1, dlaczego k(k.. itd.

mam kolosa: punkt.1. wziąłes n=1 bo w zal n≥1 czy dlatego ze w ciagu liczb pierwsza cyfra byla 1. a gdyby była 3?

mam kolosa: ?:((

Jakub: W treści zadania masz, że trzeba sprawdzić prawdziwość wzoru dla każdej naturalnej n≥1, dlatego zaczynam od n=1.

mam kolosa: aaaa , czyli z zalożeń w książkach tak pisza ze ja nie moge, juz 3 wziełam i nic, piszą jak potłuczeni

Zuz: Świetna strona, musiałeś w nią włożyć dużo pracy, podziwiam!

Baku: Naprawdę genialna strona− pomogła mi zdać dobrze maturę (rozszerzoną oczywiście ) Gdyby pojawiły się materiały ze studiów to nawet chętnie wykupiłbym abonament!

L0R3nz: Jesteś the best

raf: czemu z prawej strony za k podłożylismy k+1 a z lewej strony mamy k + k +1 zamiast samo k +1 ?

ja: Spoko, jak nam pani na matematyce tłumaczyła to nic nie rozumiałem, teraz powoli rozjaśnia się po obejrzeniu tego krótkiego nagrania

mattykka: strasznie super! od razu wszystko pojęłam, gdyby tak tłumaczyli na studiach byłoby o wiele prościej

Bartek: Ja tylko nie rozumiem dlaczego ten rodzaj dowodzenia został nazwany akurat indukcja matematyczna. Czemu akurat indukcja a nie coś innego?

Jakub: To zadanie jest w dziale indukcja matematyczna i jest chyba najprostszym zadaniem, które można rozwiązać za pomocą indukcji matematycznej. Na przykładzie jego pokazuję jak posługiwać się indukcją matematyczną. Zgoda, to zadanie można rozwiązać prościej np. ze wzoru na sumę ciągu matematycznego, jednak mi chodziło o wytłumaczenie indukcji matematycznej, a nie o najprostsze rozwiązanie tego zadania.

mat: indukcja prawidłowo i jasno wytłumaczona. Jednak jeśli chodzi o ostatnie zdanie (komentarz do udowodnienia). Według mnie jest błędne. Bo nie oznacza to, że jeżeli jest prawdziwe dla jedynki to oznacza też że dla wszystkich l. N.

Jakub: To zdanie jest prawdziwe, ale łącznie z poprzednim. Tam jest napisane, że jeżeli jest prawdziwe dla k to jest również prawdziwa dla k+1. Tak więc, jeżeli jest prawdziwe dla 1, to jest prawdziwe dla 1+1=2. Jeżeli jest prawdziwe dla 2, to jest prawdziwe dla 2+1=3 itd.

peach: A jeśli w zadaniu nie ma założenia że n≥1 to można też robić tym sposobem?

Jakub: Liczby naturalne to 0,1,2,3,... Jak nie ma założenia n≥1, to równanie powinno być też prawdziwe dla n=0. Nie wiadomo jednak, ile by się równała lewa strona 1+2+3+...+n. Tobie pewnie jednak chodzi, co robić, gdy w zadaniu nie ma założenia n≥1. Zaczynaj sprawdzanie od n=0. To jest najmniejsza liczba naturalna.

peach: Ja mam taki problem że w ogóle nie mam określonego n.Mam udowodnić to równanie ale nie mam nic powiedziane o n.

peach: Czy w moim przypadku zakłada się że n (w domyśle) należy do naturalnych?

matma: genialna strona

Patryk: Nie rozumiem dlaczego w 3. jest K+K+1 a nie k+1

Jakub: W 2. masz po lewej stronie sumę wszystkich liczb od 1 do k. W 3. masz sumę wszystkich liczb od 1 do k+1, dlatego przed ostatnią liczbą k+1 jest napisana poprzednia czyli k.

tfbv: n=k !

Paweł: skad sie tam wzielo 2(k+1)/2 ? nie rozumiem skad ta 2 w liczniku

Imię lub nick: To zostało zamienione na ułamek , ponieważ masz k(k+1)/2 to, żeby łatwiej było dodać do siebie ułamki pomnożył 2 przez licznik i mianownik . Jak skrócisz dwójki zostanie Ci samo k+1.

pacman7c3: Stronka jest super, Jakub rządzisz!