Gustlik: Jest jeszcze drugi sposób przekształcania ułamków okresowych na zwykłe − za pomoca szeregu geometrycznego − powinni go znać uczniowie uczący się matematyki na poziomie rozszerzonym, bo w niektórych szkołach ten szereg jest omawiany. Suma zbieżnego szeregu geometrycznego wyraża się wzorem:

	a1
S=		, gdzie |q|<1 (https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html)
	1−q

a₁ − pierwszy wyraz sumowanego ciagu geometrycznego q − iloraz tego ciągu; 3,(6}=3+0,(6) − oddzielam część nieokresową ułamka od okresowej. Część okresowa to szereg geometryczny: 0,(6)=0,66666...=0,6+0,06+0,006+....

	0,06
Widać, że a1=0,6, q=		=0,1
	0,6

Podstawiam do wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

	0,6		0,6		6		2
S=		=		=		=
	1−0,1		0,9		9		3

	2		2
Zatem 3,(6)=3+		=3
	3		3

Gustlik: Link do strony ze wzorem na szereg geometryczny − podaję jeszcze raz w poprawionej wersji: https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html

Jakub: Witaj Gustlik. W zadaniach, do strony którą podałeś, już są przykłady na zamianę ułamka dziesiętnego z rozwinięciem nieskończonym okresowym za pomocą wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego. Na wszelki wypadek podaję link 1708. Niestety tylko dwa.

Pi r qadrat do minus jednej: ALE TO WSZYSTKO KOMPLIKUJECIE ! Pewnie niedlugo bedziecie ,rozwiazywac prosta przemiane rachunkiem rozniczkowo calkowym . Te skomplikowane przemiany to budza WSRET do matematyki ! Godne ubolewania ze nie mozesie tego wykazac na tzw. Chlopski Rozum ! No ale wyksztalcone ludzie musza ,sie wykazac ze sa nie glupie i ze znaja jeszce cos wiecejk niz ulamki !

Jakub: To rozwiązanie też można pojąć na chłopski rozum . Taki sprytny sposób zamiany ułamka dziesiętnego na zwykły. Oczywiście można wymyślić inne rozwiązanie, a to już pozostawiam Tobie.

jutro matura :): ja się w szkole uczyłam trochę innego przekształcenia: jesli mamy: 3,(6) = 3 ⁶₉ analogicznie 3,(66)= 3⁶⁶₉₉

rycho: 0,999... = 1 bo x = 0,999... /*10 10x = 9,999... 10x = 9,999... − x = 0,999... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 9x = 9 /:9 x = 1 na chłopski rozum to nielogiczne

BAca: Ω∞∞∞∞βαααγγδ⊂→