Oblicz resztę z dzielenia patrycja: Proszę o pomoc: Liczba n jest największą liczbą naturalną, taką że liczba 4²⁷ + 4¹⁰⁰⁰ + 4ⁿ jest kwadratem liczby naturalnej. Oblicz resztę z dzielenia liczby n przez 17. Z góry dzieki

Bogdan: To jest zadanie z ostatniej serii zadań konkursowych zamieszczonych w portalu www.matmix.pl Jeśli liczba 4²⁷ + 4¹⁰⁰⁰ + 4ⁿ jest kwadratem liczby naturalnej, to można ją zapisać w postaci (a + b)² = a² + 2ab + b² a² = 4²⁷ = (2²)²⁷ = (2²⁷)², stąd a = 2²⁷ 2ab = 4¹⁰⁰⁰ = 2²⁰⁰⁰ = 2 * 2²⁷ * 2¹⁹⁷², stąd b = 2¹⁹⁷² b² = (2¹⁹⁷²)² = (2²)¹⁹⁷² = 4¹⁹⁷² = 4ⁿ, stąd n = 1972 1972 : 17 = 116 reszta 0 4²⁷ + 4¹⁰⁰⁰ + 4ⁿ = (2²⁷ + 2¹⁹⁷²)² dla n = 1972 Odp.: Reszta jest równa 0.