równanie różniczkowe Karolynka07: znaleźć równanie szczególne równania xy'=lnx+3y+1 warunek początkowy y(1)=−1/3

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/forum/99793.html

Trivial: xy' = lnx + 3y + 1 /: x

	3		lnx+1
y' −		y =
	x		x

	3
p = −
	x

	lnx+1
q =
	x

	3
∫pdx = ∫−		dx = −3lnx
	x

u = e^∫pdx = e^−3lnx = e^lnx−3 = x⁻³.

	1		lnx+1
y =		∫qudx = x3∫		dx = x3(ln|lnx+1| + c)
	u		x

	1
y(1) = 13(ln|ln1+1| + c) = c = −		.
	3

	1
y(x) = x3(ln|lnx+1| −		)
	3

Nie wiem czy to aby na pewno dobrze. Równania różniczkowe miałem tylko na fizyce.

Trivial: Źle, nie podstawiłem u.

Trivial:

	1		lnx+1		3		dx
y =		∫qudx = x3∫		dx = x3[−		(lnx+1) + 3∫		] =
	u		x4		x3		x4

	3		9
= x3[−		(lnx+1) −		+ c] = −3(lnx+1) − 9 + cx3.
	x3		x3

	1		35
y(1) = −3(ln1+1) − 9 + c = −3 − 9 + c = c−12 = −		→ c =		.
	3		3

	35
y(x) = −3(lnx+1) − 9 +		*x3
	3

Tego też nie jestem pewny.

Trivial: Dzisiaj chyba nie mój dzień na takie zadania... Ostateczna poprawka.

	1		lnx+1		1		dx
y =		∫qudx = x3∫		dx = x3[−U{1}{3x3(lnx+1) +		∫		] =
	u		x4		3		x4

	lnx+1		1		3lnx + 3		1
= x3[−		−		+ c] = −		−		+ cx3 =
	3x3		9x3		9		9

	3lnx + 4
= −		+ cx3.
	9

	3ln1+4		4		1		4		3		1
y(1) = −		+ c = c −		= −		→ c =		−		=		. AHA!
	9		9		3		9		9		9

	3lnx + 4		1		1
y(x) = −		+		x3 =		(x3 − 3lnx − 4). ...
	9		9		9

Trivial: W pierwszej linijce tam gdzie jest −{1}{ 3 x³(lnx+1) ma być:

	1
−		(lnx+1).
	3x3

Przepraszam za taki bajzel. Szkoda że nie można edytować postów.

Karolynka07: nie ma sprawy, dzięki za pomoc