Udowodnij nierówność
TPB: To zadanie jest prawdopodobnie tylko dla
Vaxa, który jest obcykany w nierównościach
Wyznacz najmniejszą liczbę C∊R, taką, że dla każdego x
1,x
2,x
3,x
4,x
5>0 zachodzi nierówność:
C(x
12005 +x
22005+x
32005+x
42005+x
52005)≥x
1x
2x
3x
4x
5(∑
5i=1
x
i125)
16
Mi wyszło C=5
15, ciekaw jestem jaki wy macie wyniki.
20 sie 12:23
Trivial:
Uproszczona notacja sum i iloczynów (bez i=1 do 5).
Dodatkowo oznaczenie: x
max = max{x
1, x
2, x
3, x
4, x
5}
Mamy wyznaczyć dowolne C, a więc:
| | ∏xi * (∑xi125)16 | |
C ≥ |
| |
| | ∑xi2005 | |
| | xmax5 * (5*xmax125)16 | |
≥ |
| |
| | 5xmax2005 | |
| | xmax5*xmax2000 | |
= 515* |
| |
| | xmax2005 | |
= 5
15.
Czyli np. C = 5
15.
20 sie 12:34
Trivial:
Z tym że mamy wyznaczyć minimalne C, a więc prawdopodobnie nie będzie to to, czego szukamy.
20 sie 12:35
Vax: Ok mam, podstawiając x
i = 1 dostajemy C ≥ 5
15, pokażemy, że dla C=5
15 nasza nierówność
działa, czyli to C jest minimalne:
5
15 (∑ x
i2005) ≥ ∏x
i * (∑x
i125)
16
Z nierówności między średnimi potęgowymi:
| | ∑xi2005 | | ∑xi2005 | |
5√∏xi ≤ p2005{ |
| } ⇔ ∏xi ≤ p401{ |
| } |
| | 5 | | 5 | |
oraz
| | ∑xi125 | | ∑xi2005 | | ∑xi125 | |
p125{ |
| } ≤ p2005{ |
| } ⇔ |
| ≤ |
| | 5 | | 5 | | 5 | |
| | ∑xi2005 | | ∑xi2005 | |
( |
| )125/2005 = ( |
| )25/401 ⇔ |
| | 5 | | 5 | |
⇔ ∑x
i125 ≤ p401{5
376 * (∑x
i2005)
25} ⇔ (∑x
i125)
16 ≤
p401{5
6016(∑x
i2005)
400}
Czyli mamy:
{ (∑x
i125)
16 ≤ p401{5
6016(∑x
i2005)
400}
Mnożymy to stronami i dostajemy:
P ≤ p401{5
6015*(∑x
i2005)
401} = 5
15*∑x
i2005 = L
Czyli dowiedliśmy, że najmniejsze C wynosi 5
15.
Pozdrawiam.
20 sie 14:28
TPB: O dzięki Vax ja tutaj poleciałem z tw. Muirheada i wyszło mi, że C=515.
Trixia również dziękuję za zainteresowanie moim przypadkiem.
20 sie 14:57
Trivial:
Chyba jednak mam błąd w swoim rozumowaniu, w drugiej linijce.
20 sie 15:05