Trivial:
(x−y)dx + dy = 0 /: dx
| | dy | | dy | |
(x−y) + |
| = 0, ale |
| to inny zapis y', czyli: |
| | dx | | dx | |
x−y+y' = 0
y' − y = −x.
Weźmy ogólne równanie
y' + py = q.
Aby rozwiązać takie równanie, możemy np. tak mądrze dobrać mnożnik u=u(x), przez który
pomnożymy obie strony równania, aby otrzymać pochodną jakiejś funkcji po lewej stronie. Wtedy
aby rozwiązać nasze równanie, wystarczy je obustronnie scałkować.
y' + py = q / *u
uy' + upy = uq
(uy)' = uq
Sprawdźmy, czym musi być u. Widzimy, że:
(uy)' = uy' + upy
u'y + uy' = uy' + upy
u' = up
Całkujemy obustronnie to równanie. Uwaga: nie musimy się przejmować stałymi z całek, bo
potrzebujemy tylko jednego mnożnika. Którykolwiek będzie dobry. Zatem:
lnu = ∫pdx
u = e∫pdx.
Pozostało rozwiązać równanie:
(uy)' = uq
Całkujemy obustronnie
uy = ∫uqdx
Ostatecznie:
y = 1u∫uqdx
Uwaga: Teraz stałe mają znaczenie!
Podsumowując, aby rozwiązać
każde równanie postaci y' + py = q postępujemy w ten sposób:
1. Liczymy u = e
∫pdx.
| | 1 | |
2. Liczymy y = |
| ∫uqdx. |
| | u | |
W tym zadaniu:
y' − y = −x.
Czyli:
p = −1,
q = −x.
Spróbuj teraz sama.
