Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Pomóżcie mi w zadanku. Zbadać ekstrema funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y): f(x,y)=xy²(a−x−y)³

Basia: f'_x = (xy²)'_x*(a−x−y)³ + xy²*[(a−x−y)³]'_x = y²(a−x−y)³ + xy²*3(a−x−y)²*(−1) = y²(a−x−y)²*[(a−x−y) − 3x] = y²(a−x−y)²(a−4x−y) f'_y = (xy²)'_y*(a−x−y)³ + xy²*[(a−x−y)³]'_y = 2xy(a−x−y)³ + xy²*3(a−x−y)²*(−1) = xy(a−x−y)²*[2(a−x−y) − 3y] = xy(a−x−y)²(2a−2x−5y) y²(a−x−y)²(a−4x−y) =0 xy(a−x−y)(2a−2x−5y)=0 mamy rozwiązania 1. y=0 i x dowolne czyli wszystkie punkty A(x,0) 2. a−x−y=0 ⇔ y=a−x czyli mamy wszystkie punkty B(x, a−x) 3. a−4x−y = 0 ⇔ y=a−4x co po podstawieniu do (2) daje x(a−x−a+4x)[2a−2x−5(a−4x)]=0 x*3x*(2a−2x−5a+20x)=0 3x²(−3a−18x)=0 −9x²(a+6x)=0 x=0 lub x= ^a₆ dla x=0 y=a czyli mamy punkt C(0,a) co jest szczególnym przypadkiem (2) dla x=^a₆ y = a−⁴₆a = a−²₃a = ¹₃a czyli mamy punkt D(^a₆; ^a₃) no i teraz trzeba policzyć pochodne f"_xx itd. wredne te rachunki będą a już mi się oczy zamykają

Basia: jeszcze z (2) jest czwarta możliwość 4. x=0 co po podstawieniu do pierwszego daje y²(a−y)²(a−y) =0 y²(a−y)³ = 0 co daje E(0,0) ale to szczególny przypadek (1) i F(0,a) ale to szczególny przypadek (2) ostatecznie po policzeniu drugich pochodnych trzeba badać: A(x,0) gdzie x dowolne B(x, a−x) gdzie x dowolne D(^a₆, ^a₃)