całki ;\ pati: obliczyc całki nieoznaczone ∫(x³+1)cosx dx

	2x+4
∫
	x3+2x2+x

pomagacz: 1. ∫(x³ + 1)cos(x) dx = ∫x³cos(x)dx + ∫cos(x)dx = ∫x³cos(x)dx = \\ u = x³ dv = cos(x) \\ = x³sin(x) − 3∫x²sin(x)dx \\ du = 3x² v = sin(x) \\ ∫x²sin(x)dx = \\ u = x² dv = sin(x) \\ = −x²cos(x) +2∫xcos(x)dx \\ du = 2x v = −cos(x) \\ ∫xcos(x)dx = \\ u = x dv = cos(x) \\ = xsin(x) − ∫sin(x) \\ du = 1 v = sin(x) \\ = x³sin(x) − 3[−x²cos(x) + 2[xsin(x) + cos(x)]] + sin(x) = x³sin(x) + 3x²cos(x) − 6xsin(x) − 6cos(x) + sin(x) = x³sin(x) − 6xsin(x) + sin(x) + 3x²cos(x)− 6cos(x) = sin(x)(x³ − 6x + 1) + cos(x)(3x² − 6) chyba dobrze, liczyłem w pamięci ale jak tu jest tak samo jak tu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%28%28x^3+%2B+1%29cos%28x%29%29

marcin: w drugim przykładzie zauważ, że można rozbić całkę w taki sposób

	2x+4		2(x+1)+2
∫		dx = ∫		dx =
	x3+2x2+x		x(x+1)2

	1		1
= 2 ∫		dx + 2 ∫		dx
	x(x+1)		x(x+1)2

Trivial: Takie rozbicie niewiele nam da. Druga całka to typowy przykład na rozkład na ułamki proste.

2x+4		2x+4		A		B		C
	=		=		+		+
x3+2x2+x		x(x+1)2		x		x+1		(x+1)2

2x+4 = A(x²+2x+1) + B(x²+x) + Cx x²: A + B = 0 x¹: 2A + B + C = 2 x⁰: A = 4 A = 4 B = −4 C = −2

	2x+4		2
∫		dx = 4ln|x| − 4ln|x+1| +		+ c.
	x3+2x2+x		x+1