indukcja mores: jak wykazac na zasadzie indukcji matemtycznej ze n⁷ − n jest podzielne przez 42 prosiłbym o rozpisanie

Vax: Musi być indukcyjnie ? Da się o wiele szybciej i ładniej

mores: własnie oto chodzi ze potrzebuje indukcyjnie:

Kejt: ale jeśli możesz zrobić też tym drugim sposobem, to będę wdzięczna

Vax: No to dla n=1 działa, zakładasz, że dla pewnego n zachodzi n⁷−n = 42k gdzie k jest pewną liczbą całkowitą i masz dowieść, że 42 | (n+1)⁷ − (n+1), rozpisujesz to wszystko, potem korzystasz z założenia i udowadniasz, że to co zostało dzieli się przez 42.

Vax: Innym sposobem, zauważmy, że 42 = 6*7, nwd(6,7) = 1 więc wystarczy pokazać, że dane wyrażenie dzieli się przez 6 i 7, podzielność przez 7 wynika od razu z Małego Twierdzenia Fermata, a przez 6: n⁷−n = n(n⁶−1) = n(n³−1)(n³+1) = (n−1)n(n+1)(n²−n+1)(n²+n+1), ale (n−1)n(n+1) jako iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 6, cnd.

Kejt: no właśnie zastanawiałam się jak udowodnić podzielność przez 7..nie znałam takiego twierdzenia, heh..

Kejt: dziękuję

Vax: Jak się nie zna tego twierdzenia to można to udowodnić podobnie jak podzielność przez 6: n⁷−n = (n−1)n(n+1)(n²−n+1)(n²+n+1) Jeżeli n = 7k+6 v n=7k v n=7k+1 to któryś z czynników (n−1)n(n+1) dzieli się przez 7, zostaje rozpatrzeć przypadki n= (7k+2)v(7k+3)v(7k+4)v(7k+5) w 1 przypadku 7 | n²+n+1, w drugim 7|n²−n+1 w trzecim 7 | n²+n+1 i w czwartym 7 | n²−n+1