??? edi krk: mam takie pytanie czy da sie wyprowadzic wzór na sume kwadratów n pierwszych liczb naturalnych z indukjci matematycznej? a jak da sie to jak?

Trivial: Indukcją matematyczną nic nie wyprowadzisz. Służy ona do przeprowadzania dowodów (musisz najpierw mieć podejrzenia na temat odpowiedzi).

edi krk: dzięki za odpowiedz a jak to mozna wyprowadzic? z czego

Trivial: Można zastosować taki 'trick': ∑ⁿ_k=1 k² = S_n = ? ∑ⁿ_k=1 k³ = ∑ⁿ⁻¹_k=0 (k+1)³ = ∑ⁿ⁻¹_k=0 [k³ + 3k² + 3k + 1] = = ∑ⁿ⁻¹_k=0k³ + ∑ⁿ⁻¹_k=0[3k² + 3k + 1] = = 0³ + ∑ⁿ_k=1k³ − n³ + ∑ⁿ⁻¹_k=0[3k² + 3k + 1]. Zauważ, że otrzymaliśmy taką samą sumę jak na początku... Mamy więc: 0 = − n³ + ∑ⁿ⁻¹_k=0[3k² + 3k + 1] n³ = 3∑ⁿ⁻¹_k=0k² + 3∑ⁿ⁻¹_k=0k + ∑ⁿ⁻¹_k=01

	(n−1)n
n3 = 3(02 + ∑nk=1k2 − n2) + 3*		+ n.
	2

Wystarczy teraz wyznaczyć ∑ⁿ_k=1k² z tego równania i gotowe.

	(n−1)n
n3 − n − 3*		= 3Sn − 3n2
	2

	1		n2−n
Sn =		[n3 + 3n2 − n − 3*		]
	3		2

	1		2n3 + 6n2 − 2n − 3n2 + 3n
Sn =		[		]
	3		2

	2n3 + 3n2+ n
Sn =		.
	6

edi krk: dzięki wielkie

def: Poczytaj o metodzie zaburzania sum.

AS: A może bardziej przystępnie,tak na chłopski rozum. Potrzebny będzie wzór na sumę liczb naturalnych

	1
Sn = 1 + 2 + ... + n =		n(n + 1)
	2

Wyznaczam wzór na sumę kwadratów pierwszych liczb naturalnych S = 1¹ + 2² + 3² + ... + n² Korzystam z tożsamości (x + 1)³ − x³ = 3*x² + 3*x + 1 Dla x = 1,2,3,... n otrzymujemy 2³ − 1³ = 3*1² + 3*1 + 1 3³ − 2³ = 3*2² + 3*2 + 1 4³ − 3³ = 3*3² + 3#3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)³ − n³ = 3*n² + 3*n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)³ − 1³ = 3*(1² + 2² + ... + n²) + 3*(1 + 2 + ... + n) + n

	n
(n + 1)3 − 13 = 3*S + 3*		*(n + 1) + n
	2

	3		3
n3 + 3*n2 + 3*n + 1 − 1 = 3*S +		n2 +		*n + n |*2
	2		2

2*n³ + 6*n² + 6*n = 6*S + 3*n² + 3*n + 2*n 6*S = 2*n³ + 3*n² + n

	1
S =		*n*(2*n2 + 3*n + 1)
	6

	1
S =		*n*(n + 1)*(2*n + 1)
	6