Dwie nierówności def: Trzeba skorzystać z nierówności między średnimi, niestety chyba zbyt trudne zadania na początek, dopiero tego zaczynam się uczyć . Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność.

2		2		2		9
	+		+		≥
a+b		b+c		a+c		a+b+c

Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich a, b, c takich, że a+b+c = 1 zachodzi nierówność √2a+1+√2b+1+√2c+1≤√15

Wezyr: Pierwsze masz z tego śr.arytm. ≥ śr.harm.:

2(a + b + c)		3
	≥
3		1   1   1   + + a+b   b+c   a+c

Wezyr: Drugie śr . arytm ≤ śr kwadr.:

√2a+1 + √2b+1 + √2c+1		2a+1 + 2b+1 + 2c+1
	≤ √
3		3

def: Mógłbyś jeszcze napisać jak do tego doszedłeś? Jak przekształcałeś?

Vax: Wezyr skorzystał z zależności między średnimi. W 1 wystarczy teraz odwrócić ułamki i pomnożyć obie strony przez 6, a w 2 skorzystać z tego, że a+b+c=1. 1 nierówność ma z tego, że:

x+y+z		3
	≥
3		1   1   1   + + x   y   z

Po podstawieniu x=a+b , y=b+c , z=a+c 2 nierówność wynika z tego, że:

x+y+z
	≤ √(x2+y2+z2)/3
3

Po podstawieniu x=√2a+1 , y=√2b+1 , z=√2c+1

def: Dzięki, możesz zapodać jakieś nierówności, gdzie trzeba będzie skorzystać z nierówności pomiędzy średnimi? Tylko nie za trudne, ledwo kapuję jak na razie

Vax: No to może coś takiego (wszędzie niewiadome dodatnie):

	x		y		z
1)		+		+		≥ 3
	y		z		x

2) xyz spełniają warunek xyz=1, pokaż, że (x+2y)(y+2z)(z+2x) ≥ 27

	1		1		1
3) x,y,z spełniają warunek x+y+z=1 pokaż, że (1+		)(1+		)(1+		) ≥ 64
	x		y		z

def: Uff, pierwsze mam, AM−GM.

x   y   z   + + y   z   x		x		y		z
	≥3√		*		*
3		y		z		x

2 i 3 jednak trudniejsze jest, trochę będę musiał pomyśleć

Vax: No w porównaniu do 1 to trochę ciekawsze, jbc pisz to dam małą wskazówkę

def: Jednak chyba potrzebna będzie mi wskazówka Próbowałem udowodnić, że x+2y≥3, ale chyba nie da rady.

Vax: No dobrze kombinujesz, zauważ, że x+2y = x+y+y i teraz spróbuj to oszacować z am−gm, tak samo pozostałe składniki

def: Ok mam. Z AM−GM wynika:

x+y+y
	≥3√xy2
3

y+z+z
	≥3√yz2
3

z+x+x
	≥3√zx2
3

Mnożąc trzy nierówności dostajemy początkową nierówność, czyli TEZĘ? Jaką rolę pełni teza w matematyce?

	1
W 3 udowodnić, że 1+		≥4 ? Tylko tez problem jak.
	x

def: Ok, trzecie zrobiłem. Mógłbyś dać następne zadanka?

Vax: Mnożąc te nierówności dostajemy:

(x+2y)(y+2z)(z+2x)
	≥ 3√x3y3z3 = xyz = 1
27

Czyli (x+2y)(y+2z)(z+2x) ≥ 27, cnd

	1
W 3 nierówności proponowałbym 1+		sprowadzić do wspólnego mianownika, tak samo pozostałe
	x

czynniki, potem wymnożyć obie strony przez xyz i dalej spróbuj jakoś skorzystać z założenia x+y+z=1 Jak nie będzie wychodziło to pisz.

Vax: Pokaż swój dowód 3

def: Z AM−GM wynika:

1   1+   x		1
	≥4√
4		x

1   1+   y		1
	≥4√
4		y

1   1+   z		1
	≥4√
4		z

Mnożąc trzy nierówności dostajemy:

1   1   1   (1+ )(1+ )(1+ )   x   y   z		1
	≥4√
64		xyz

1   1   1   (1+ )(1+ )(1+ )   x   y   z
	≥1
64

	1		1		1
(1+		)(1+		)(1+		)}≥64
	x		y		z

cnd. Chyba mój sposób o wiele krótszy

Vax:

	1   1+   x		1
No chyba nie, z am−gm nie wynika		≥ 4√		, skąd masz 4 w mianowniku? Masz
	4		x

w liczniku 2 składniki, poza tym po drodze korzystasz z tego, że xyz=1 czego nie mieliśmy danego, mamy dane x+y+z=1.

def: No fakt Czyli ile jest składników to przez tyle dzielimy, źle zrozumiałem troszkę nierówności między średnimi. Pomyliło mi się założenie z zadania drugiego, a byłoby tak pięknie

Jack: może z tego skorzystaj: AM≥ HM ?

Vax: Ja jednak radziłbym zastosować moją wskazówkę

Jack: oki

def: Ok zrobiłem trzecie. Przekształciłem do (x+1)(y+1)(z+1)≥64xyz Skorzystałem z tego x+y+z=1 x+1=x+x+y+z więc z AM−GM wynika:

x+x+y+z
	≥4√x2yz
4

Mnożąc tą i inne dwie podobne otrzymujemy nierówność (x+1)(y+1)(z+1)≥64xyz cnd, Jack, AM−HM? jak?

Vax: Dobrze

def: Vax dzięki możesz dać nowe zadania?

Jack: tak rzeczywiście wychodzi bardzo łatwo. Wycofuję swoją "wskazówkę"

def: Ma ktoś zadania, gdzie trzeba wykorzystać nierówności pomiędzy średnimi?

Vax: Udowodnij, że dla dowolnej naturalnej n zachodzi:

1		1		1		1		2
	+		+		+...+		>
n		n+1		n+2		2n		3

def: Zapewne trzeba lewą stronę zwinąć? Tylko mam z tym problem Jakaś wskazówka?

Wezyr: Wykorzystaj AM ≥ HM.

def: Poddaję się, nie mam pomysłu jak to zrobić. Jakaś inna wskazówka?

Godzio: A skorzystałeś ze wskazówki ?

1   1   1   + + ... + n   n + 1   2n		n + 1
	≥
n + 1		n + n + 1 + ... + 2n

def: Tak, tylko dalej coś nie mogę dojść. Sumę na dole mogę zapisać:

3n(n+1)
2

	2
Jednak mnożąc obustronnie przez n+1 nie otrzymamy po prawej stronie		, ja dostałem
	3

	2(n+1)
	3n

Godzio: Wszystko ok Zauważ że masz udowodnić: >, a nie ≥

2(n + 1)		2		2		2
	=		+		>
3n		3		3n		3

def: No fakt Dzięki. Proszę o następne zadanie

def: Ma ktoś zadania, gdzie trzeba wykorzystać nierówności pomiędzy średnimi?