Zadanka Godzio: Zadania dla nudzących się Dla bardziej zaawansowanych: 1.* Funkcja f: R → R spełnia dla dowolnych x,y∊ R warunek: |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|³ Uzasadnić, że funkcja ta jest stała na R. 2.* Funkcja g jest ciągła na [1,) oraz spełnia warunek lim_x→∞g(x) = 3. Wyznaczyć granicę

	1
limx→∞{		1∫x g(t)dt}
	x

I tych mniej: 1. Dane są okręgi i równaniach (x − 1)² + (y − 1)² = 1 oraz (x − 2)² + (y − 1)² = 16. Wyznaczyć równania wszystkich okręgów stycznych równocześnie do obu danych okręgów oraz do osi OY 2. Dla jakich wartości parametru p nierówność:

2px2 + 2px + 1
	≥ 2
x2 + x + 2 − p2

jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x² ?

Godzio: 2. "ciągła na [1,∞)

Wezyr: Zad 1 Oszacujmy pochodna: |f(x + h) − f(x)| ≤ |h|³ / :h

	f(x + h) − f(x)
−h2 ≤		≤ h2
	h

z twierdzenia o 3 ciągach gdy h→0, wynika f'(x) = 0 dla każdego x co kończy dowód

Wezyr: Zad 2. Wykorzystując de'Hospitala

	g(x)
limx→∞		= 3
	1

;) ZKS ;):

2px2 + 2px + 1
	≥ 2 x2 + x + 2 − p2 ≠ 0 ⇒ p ∊ (−√3 ; √3)
x2 + x + 2 − p2

2px2 + 2px + 1 − 2x2 − 2x − 4 + 2p2
	≥ 0
x2 + x + 2 − p2

(2p − 2)x2 + (2p − 2)x − 3 + 2p2
	≥ 0
x2 + x + 2 − p2

Δ ≤ 0 (2p − 2)x² + (2p − 2)x − 3 + 2p² ≤ 0 4p² − 8p + 4 − 16p³ + 16p² + 24p − 24 ≤ 0 −16p³ + 20p² + 16p − 20 ≤ 0 4p³ − 5p² − 4p + 5 ≥ 0 p²(4p − 5) − (4p − 5) ≥ 0

	5
(4p − 5)(p + 1)(p − 1) ≥ 0 ⇒ p ∊ <−1 ; 1> ∪ <		; ∞)
	4

	5		5
p ∊ <−1 ; 1> ∪ <		; ∞) ⋀ p ∊ (−√3 ; √3) ⇒ p ∊ <−1 ; 1> ∪ <		; √3)
	4		4

Chyba nigdzie się nie walnąłem mam nadzieje.

Godzio: Niestety coś nie tak jest, szukaj błędu (ewentualnie w założeniach )

;) ZKS ;): To zrobię sobie na spokojnie na karteczce i sprawdzę gdzie się walnąłem.

;) ZKS ;):

	5		√7
p ∊ <−1 ; 1> ∪ <		;		)
	4		2

A teraz?

Godzio: <−1,1> −− tego być nie powinno

;) ZKS ;): To teraz sprawdzę całość gdzie robię źle.

;) ZKS ;): Okej znalazłem zapomniałem dać założenie że a > 0.

;) ZKS ;): To teraz dla Ciebie Godzio Dla jakich rzeczywistych wartości parametru a nierówność 4^|cosx| + 2(2a + 1)2^|cosx| + 4a² − 5 < 0 jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej?

Godzio:

	3		1
a∊ (−		,−		) ?
	2		4

;) ZKS ;): Niestety nie.

Godzio: No to myślę dalej hmmm

;) ZKS ;):

	3
Mogę podpowiedzieć że −		jest dobrze.
	2

Godzio:

	3		1
a ∊ (−		,−		) ? Mam nadzieję, że moje rozumowanie jest dobre, jak ten wynik jest zły
	2		2

to nie mam pojęcia jak to zrobić

Godzio: Poczekaj sekunde, jeszcze coś sprawdzę

;) ZKS ;): Sprawdź sprawdź jeszcze.

Godzio: Nie mam innych pomysłów Zagiąłeś mnie tym zadaniem

;) ZKS ;): Dam jeszcze 10 minut i później napiszę krok po kroku rozwiązanie okej?

Godzio: Nie ma co czekać, pisz teraz

;) ZKS ;): 2^|cosx| = t 0 ≤ |cosx| ≤ 1czyli 2⁰ ≤ t ≤ 2¹ ⇒ t ∊ <1,2>

	⎧	f(1) < 0
	⎩	f(2) < 0

Dalej już chyba wiadomo co i jak.

Godzio: No to tak robiłem ale przy sprawdzeniu nie zgadzało się, muszę jeszcze raz sprawdzić

Godzio:

	3		1
Z tego układu wychodzi (−		,−		) czy nie ?
	2		2

;) ZKS ;):

	1 + √3		−1 + √3
Zf(1) < 0 dostajemy a ∊ (−		;		)
	2		2

	3		1
a z f(2) < 0 dostajemy a ∊ (−		; −		)
	2		2

;) ZKS ;):

	3		1 + √3
Czyli ostatecznie a ∊ (−		; −		)
	2		2

Godzio: I nie bierzemy części wspólnej ?

;) ZKS ;): Chyba że jest błąd w książce bo też teraz sprawdzam i coś mi się nie zgadza.

Godzio: Odpowiedź tak czy siak złą podałem

	1 + √3		1
Chyba powinno być: a ∊ (−		, −		)
	2		2

Godzio: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3		1 + √3		1		− 1 + √3
−		−−−−−−−−− −		−−−−−−−−−−−− −		−−−−−−−−−−−−−
	2		2		2		2

|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−|

;) ZKS ;): W książce jest zła odpowiedź i powinno być tak jak teraz napisałeś.

Godzio:

	1 + √3		3
Jest chyba za późno już −		jak sprawdzałem to wychodził mi po za −
	2		2

....

;) ZKS ;): W książce też chyba dawali odpowiedź za późno. A wiesz kiedy jest matura poprawkowa z rozszerzenia z matematyki bo chciałbym już sobie ją rozwiązać.

Godzio: Pewnie w sierpniu jakoś pod koniec

;) ZKS ;): Robiłeś już te zadanie kiedyś?

	252x		99
250x + 2 * 249x+ ... + 49 * 22x + 50 * 2x =		+
	(2x − 1)2		4

Godzio: Wydaje mi się, że tak, ale to dawno dawno

;) ZKS ;): Eeee to szkoda aż wstyd mówić ile to zadanie robiłem hehe.

Godzio: Takich zadań o tak szybko się nie robi chyba, że jest się wymiataczem

;) ZKS ;): Może sprawdzimy Vax w ile to zrobi zadanie? Masz może jeszcze jakieś zadanie na udowodnienie Godzio?

Godzio: Podaj wynik do tego zadania, zobaczę czy jeszcze coś umiem

Godzio: Możesz dać

;) ZKS ;): Myślałem że Ty mi coś dasz hehe. To mam coś takiego:

a + b + c		ab		bc		ac
	≥		+		+
2		a + b		b + c		a + c

dla a , b , c > 0

Vax: No to tą nierówność już mam, a tą sumę zaraz spróbuję policzyć

;) ZKS ;): No to liczę ile czasu to zajmie Tobie Vax.

Godzio: No to coś ode mnie:

	3
21 + 2log2cosx −		≥ 90,5 + log3sinx
	4

Godzio:

a + b + c		ab		bc		ac
	≥		+		+
2		a + b		b + c		a + c

	2		2		2
a + b + c ≥		+		+
	1   1   + a   b		1   1   + b   c		1   1   + a   c

Korzystając z śr. arytmetyczna ≥ harmoniczna:

a + b		2
	≥
2		1   1   + a   b

a + c		2
	≥
2		1   1   + a   c

b + c		2
	≥		+
2		1   1   + b   c

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	2		2		2
a + b + c ≥		+		+
	1   1   + a   b		1   1   + b   c		1   1   + a   c

Co kończy dowód

Godzio: Albo to możesz zrobić:

	1
|x|2x − 1 ≤		To chyba jest takie bardziej trudniejsze
	x2

;) ZKS ;): A wiesz rozwiązanie dają do tego (a + b)² ≥ 4ab = (a − b)² ≥ 0

;) ZKS ;): Takie coś mi wyszło do poprzedniego:

	π		π
x ∊ < −		+ kπ ;		+ kπ>
	6		6

Godzio:

	π
< ?,		+ kπ> −− ten znak zapytania to powinno być coś innego
	6

;) ZKS ;):

	1
x ∊ <−		,0) ?
	2

;) ZKS ;): To jest to kolejne zadanie jak by coś.

;) ZKS ;): Chyba coś zwaliłem spojrzę jeszcze raz.

Godzio: Ta nierówność ma rozbudowaną odpowiedź, z nią łatwo nie będzie

Vax: Odpowiedź to −log₂ 3?

;) ZKS ;): To widzę że jedną odpowiedź mamy poprawną a gdzie druga odpowiedź Vax?

Godzio:

	99
log2		hm ?
	101

;) ZKS ;): Godzio.

;) ZKS ;): Jejku teraz będę się męczył z Twoim zadaniem Godzio.

Vax:

	a+b		ab
Fakt, co do nierówności to można udowodnić		≥		⇔ (a+b)2 ≥ 4ab
	4		a+b

Godzio: No dobra, ale co z moją nierównością Ty podałeś tylko kawałek rozwiązania

;) ZKS ;): Vax znalazłeś i drugie rozwiązanie takie jakie podał Godzio? Ale chodzi Ci o trygonometrię Godzio?

Godzio: Głównie o to drugie Trygonometria to tam banał nie spojrzałem czy trudne czy nie, błąd musiał być jakiś drobny więc olej trygonometrie i zrób to

Vax:

	1		99
Tak znalazłem, mamy równanie kwadratowe (t=2x) i 2 rozwiązania		i
	3		101

;) ZKS ;):

	1
x ∊ (−∞ ; −1> ∪ <−		; 1> \ { 0 }
	2

Jak to też źle zrobiłem to już się poddaję.

Vax: Oczywiście te 2 rozwiązania to do niewiadomej ,,t", później wychodzi normalny wynik

Godzio: Jest git

Godzio: To co ? Dajemy se jeszcze po jednym zadaniu i kto zrobi może iść spać ?

;) ZKS ;): Z pół godziny tylko robiliście to zadanie Vax i Godzio i wyszedł wam poprawny wynik wy to wymiatacie u mnie nawet nauczycielka nie mogła sobie z nim poradzić hehe.

;) ZKS ;): Uff to się cieszę bo zgubiłem dwa rozwiązania na początku −1 i 1 ale je znalazłem później.

;) ZKS ;): A może być jakieś do udowodnienia bo właśnie mam przed sobą?

Godzio: Może być Ja mam takie coś: Rozwiąż układ nierówności:

⎧	x + y ≤ 3
⎩	logy(2x + 1 + 32 ≤ 2logy(8 − 2x)

Vax: To może takie zadanie z planimetrii: W trapezie ABCD (AB i CD to podstawa, |AB| > |CD|) przedłużono ramiona AD i BC do przecięcia w X. Niech Y będzie środkiem podstawy AB. Pokaż, że odcinek XY dzieli podstawę |CD| na dwie równe części

;) ZKS ;):

a

b

c

1

1

1

(

+

+

)2 ≥ (a + b + c)(

+

+

)

b

c

a

a

b

c

dla a , b , c > 0

;) ZKS ;): log_y(2^{x + 1} + 32 a gdzie się kończy nawias Godzio ?

Vax: Ok, mam Twoją nierówność ZKS Teraz zadanie Godzio, tylko nie wiadomo jak miało być

Godzio: log_y(2^{x + 1} + 32)

;) ZKS ;): Vax ja planimetrii nie ruszam bo nie za bardzo lubię ten dział.

Vax: Dobra, ja będę leciał już spać, dobranoc

;) ZKS ;): Dobranoc A mi się chyba udało zrobić zadanie które podał Godzio czy odpowiedź to x ∊ (1 ; 3) ⋀ y ∊ (0 ; 1)

Godzio: Niestety nie

;) ZKS ;): Nieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee załamię się zaraz. A już myślałem że pójdę do łóżeczka pospać.

;) ZKS ;): x ∊ (1 ; 3) ⋀ y ∊ (0 ; 2) A ta proszę powiedz że tak?

Godzio:

a		b		c
	+		+		≥ a + b + c
b		c		a

	x
a =
	y

	y
b =
	z

	z
c =
	x

xz		xy		yz		x		y		z
	+		+		≥		+		+
y2		z2		x2		y		z		x

(To pamiętam jak Vax pokazywał)

2xz/y2 + xy/z2		x
	≥
3		z

2xy/z2 + yz/x2		y
	≥
3		z

2yz/x2 + xz/y2		z
	≥
3		x

Po zsumowaniu:

xz		xy		yz		x		y		z
	+		+		≥		+		+
y2		z2		x2		y		z		x

a		b		c		1		1		1
	+		+		≥		+		+
b		c		a		a		b		c

xz		xy		yz		y		z		x
	+		+		≥		+		+
y2		z2		x2		x		y		z

2yz/x2 + xy/z2		y
	≥
3		x

2xz/y2 + yz/x2		z
	≥
3		y

2xy/z2 + xz/y2		x
	≥
3		z

Po zsumowaniu:

xz		xy		yz		y		z		x
	+		+		≥		+		+
y2		z2		x2		x		y		z

Udowodniłem więc, że:

a		b		c
	+		+		≥ a + b + c
b		c		a

i

a		b		c		1		1		1
	+		+		≥		+		+
b		c		a		a		b		c

Po przemnożeniu:

a

b

c

1

1

1

(

+

+

)2 ≥ (a + b + c)(

+

+

)

b

c

a

a

b

c

Wygląda na to, że mogę iść spać

Godzio: Dalej nie Są dwie odpowiedzi w postaci układu równań, jedną z nich Ci podam:

⎧	x ≤ 1
⎩	1 < y ≤ 3 − x

;) ZKS ;): Za chwilkę znajdę gdzieś błąd poczekaj no hehe!

Godzio: Czekam, czekam

Vax: Jednak jeszcze chwilę posiedzę Godzio masz drobny błąd w rozumowaniu, tamten dowód

	x
działa przy założeniu, że a*b*c=1 W innym wypadku nie możesz podstawić a=		,
	y

	y		z
b=		, c=
	z		x

Godzio: Aaaaaaaaaaaaaaa

;) ZKS ;):

⎧	x ∊ (1,2>
⎩	y ∊ (0 ; 3 − x)

Teraz? To jest ten drugi układ.

Godzio: Właśnie tak myślałem, że coś nie tak by było bo po ustaleniu a i b, c jest uzależnione od reszty

;) ZKS ;): Dzieki Ci Vax hehe.

Godzio: Nie

Godzio: Heh ... Mógł iść spać już

;) ZKS ;): To się teraz zastrzelę i pójdę na wieczny odpoczynek.

Godzio: Kto normalny siedzi o 3:30 na forum matematycznym i robi zadania w WAKACJE

Godzio: A co ja mam powiedzieć

;) ZKS ;): Hah kto normalny jak to kto my. Nie wiem jaka tutaj jeszcze może być odpowiedź do tego zdania.

Godzio: To myśl, ja niedługo udowodnię tą nierówność więc się spręż

;) ZKS ;): Żeby to niedługo nie trwało z 1h.

;) ZKS ;):

⎧	x ∊ (2 ; 3)
⎩	y ∊ (0 ; 3 − x>

Godzio: Wciąż nie

;) ZKS ;):

⎧	x ∊ (1 ; 2>
⎩	y ∊ (0 ; 1)

Błagam powiedz że tak!

Godzio: :( niestety, ale już blisko chyba

;) ZKS ;): Ale x mam źle czy y ?

Godzio: x

Godzio:

a

b

c

1

1

1

(

+

+

)2 ≥ (a + b + c)(

+

+

)

b

c

a

a

b

c

a2		b2		c2		2a		2c		2b
	+		+		+		+		+		≥
b2		c2		a2		c		b		a

a

a

b

b

c

c

1 +

+

+

+ 1 +

+

+

+ 1

b

c

a

c

a

b

a2		b2		c2		a		c		b
	+		+		+		+		+		≥
b2		c2		a2		c		b		a

	a		b		c
3 +		+		+
	b		c		a

a
	= x
b

b
	= y
c

c
	= z
a

	1		1		1
x2 + y2 + z2 +		+		+		≥ 3 + x + y + z
	x		y		z

2x2+1/x+2y2+1/y+2z2+1/z		x2+2/x+y2+2/y+z2+2/z
	+		≥ 3 + x + y +z
3		3

2x2 + 1/x
	≥ x
3

2y2 + 1/y
	≥ y
3

2z2 + 1/z
	≥ z +
3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2x2 + 2y2 + 2z2 + 1/x + 1/y + 1/z
	≥ x + y + z
3

Pozostaje udowodnić, że

x2+2/x+y2+2/y+z2+2/z
	≥ 3
3

x2 + 2/x
	≥ 1
3

y2 + 2/y
	≥ 1
3

z2 + 2/z
	≥ 1
3

−−−−−−−−−−−−−−−−

x2+2/x+y2+2/y+z2+2/z
	≥ 3
3

Udowodniłem więc, że:

2x2 + 2y2 + 2z2 + 1/x + 1/y + 1/z
	≥ x + y + z
3

x2+2/x+y2+2/y+z2+2/z
	≥ 3
3

Po zsumowaniu:

2x2+1/x+2y2+1/y+2z2+1/z		x2+2/x+y2+2/y+z2+2/z
	+		≥ 3 + x + y +z
3		3

W nierównościach korzystałem z faktu, że śr. arytm. ≥ geo. Co kończy dowód Udało się

Vax: Wszystko dobrze, ładny dowód No dobra, idę już na serio spać Dobranoc!

Godzio: Uffff Dzięki i dobranoc, a ja czekam dalej, aż ZKS da mi tą poprawną odpowiedź

;) ZKS ;): x ∊ (2 ; 3) ?

Godzio: Niestety nie Jesteś pewien, że chcesz kontynuować ?

;) ZKS ;): Dobranoc dobranoc.

;) ZKS ;): To już cholera mnie weźmie za moment jak i ten x jest źle.

Godzio: Robię tylko ten drugi przypadek y ∊ (0,1) x + y ≤ 3 2t + 32 ≥ 64 − 16t + t² t² − 18t + 32 ≤ 0 ⇒ t ∊ <2,16> ⇒ x ∊ <1,4> 0 < y < 1 x + y ≤ 3 i x ∊ <1,4> ⇒ x ≤ 3 − y, mamy pewność że, 3 − y < 4 więc 1 ≤ x ≤ 3 − y (bo szukamy części wspólnej) więc: x ∊ <1, 3 − y>

;) ZKS ;): x ∊ (1 ; 2) ? Heh za chwilę z tym zgłupieje.

;) ZKS ;): Nieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee! Ale jestem debil to szkoda gadać!

Godzio: Bez przesady Na jutro mam ciekawe zadanko (a właściwie na dzisiaj) także się przygotuj

Godzio: No pora spać, dobranoc

;) ZKS ;): W ogóle nawet tego y nie brałem pod uwagę że on może x ograniczać.

Godzio: Ano może, w pierwszym rozwiązaniu to x ograniczał y, teraz na odwrót

;) ZKS ;): Ja też lecę spać chociaż nie zasłużyłem na to. Dobranoc.

Trivial: Do 4:22 siedzieli...

b.: zadanie 1* (pierwsze napisane przez Godzia) ciągle jest nierozwiązane −− tylko Wezyr je rozwiązał, ale przy dodatkowym założeniu różniczkowalności

Godzio: A to 2* wystarczy zrobić tak jak Wezyr ?

Trivial: Wydaje mi się, że zadanie pierwsze jest rozwiązane dobrze, bo różniczkowalność f niejako wynika z założeń w zadaniu.

Trivial: A co do drugiego, to skąd wiemy, że ₁^x∫g(t)dt przy x→∞ zmierza do nieskończoności (musimy to wiedzieć, aby użyć reguły de l'Hospitala)?

Trivial: Czy w drugim odpowiedź to na pewno 3, a nie 3 − g(1)?

Godzio: Odpowiedzi niestety nie mam bo to są najtrudniejsze zadania (na ocenę celującą) na kolokwiach i w zbiorze tylko do nich nie ma odp

Wezyr: Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że jeżeli funkcja jest ograniczona m ≤ f(x) ≤< M to istnieje taka liczba m ≤ μ ≤< M, że _a^b∫ f(x) = μ (b−a) w naszym przypadku m=g(1) M ≤ 3 g(1) ≤ μ ≤ 3 ₁^x∫g(t)dt = μ (x − 1) stąd widać że lim x→∞ ₁^x∫g(t)dt = lim x→∞ μ(x−1) = ∞

Vax: Dodam jeszcze, że w zadaniu z trapezem można się pokusić o dowód, że XY przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych AC i BD

Trivial: Nie wiemy, czy m = g(1) i M ≤ 3. Weźmy np. funkcję g(t) = e^−tsin(πt) + 3. Tutaj to nie zachodzi. Ale gdybyśmy znali m=g_min i M=g_max, to by to zachodziło, czyli ta całka i tak zmierza do ∞.

Wezyr: Tak, masz rację. Rozpatrywałem funkcję pod asymptotą, ale te całki tak i tak zmierzają do nieskończoności i można de'Hospitalem.

b.: zgadza się, racja co do 1* co do 2*, to nie jestem całkiem pewien w tej chwili, ale chyba założenie, że funkcja w liczniku ma granicę ∞ jest zbędne w regule de l'H. można też 2* zrobić bezpośrednio z definicji granicy (niech ε>0; g(x) jest w przedziale (3−ε, 3+ε) dla odpowiednio dużych x, itd...)