Znajdź maksymalną wartość wyrażenia TPB: Liczby x₁, x₂, x₃, ...,x_n są dodatnie, a ich suma jest równa 1. Znajdź maksymalną wartość wyrażenia: ∑ⁿ_i=1 x₁⁴(1−x₁) Bardzo proszę o pomoc. To kolejne zadanie, które mnie przerasta.

Basia: tam na pewno ma być ∑_i=1ⁿ x₁⁴(1−x₁) ? nie ∑_i=1ⁿ x_i⁴(1−x_i) ?

TPB: Masz rację, oczywiście. Pokopało mi się to wpisywanie

TPB: Masz jakiś pomysł? Mi znalezienie tej wartości nawet dla n=3 sprawia kłopoty, a co dopiero ogólnie...

Basia: na razie niestety nie; może coś mi przyjdzie do głowy gdy się naprawdę obudzę

Wezyr: Stosujemy metodę na extremum warunkowe Lagrange'a tworzymy funkcję: φ(x₁;...x_n) = ∑_i=1ⁿ x_i (1− x_i ) + λ * (∑_i=1ⁿ x_i − 1) , gdzie λ− czynnik nieoznaczony liczymy pochodną po x_k dla k=1,...,n które muszą sie zerować φ'(x₁;...x_n)= 4x_k³ − 5x_k⁴ + λ = 0 dla x₁ φ'(x₁;...x_n)= 4x₁³ − 5x₁⁴ + λ = 0 odejmując stronami, otrzymujemy: 4(x_k³ − x₁³) − 5(x_k⁴ − x₂⁴) =0 dalej (x_k − x₁)[4(x_k² +x_kx₁ +x₁²) − 5(x_k + x₁)(x_k² + x₁²)]=0 to zachodzi dla x_k = x₁ ponieważ k było dowolne wynika z tego, że x₁=x₂=x₃=.......=x_n

	1
Stąd xk =
	n

Czyli wartość max sumy

	1		1		n − 1
n*		(1−		)=
	n4		n		n4

Trzeba by wykazać że jest to maximum, ale już mi się nie chce.

Wezyr: Jest to maximum, lokalne ale nie największa wartość. Największa wartość będzie na brzegu obszaru, czyli gdy wszystkie z wyjątkiem 2 będą równe 0 czyli np.

	1
x1=
	2

	1
x2=
	2

x_k=0 dla k≥3 Wstawiając do wzoru wcześniej wyprowadzonego

2 − 1		1
	=
24		16

b.:

	2		1
ale.... 1/16 to też nie największa wartość −− np. dla x1=		i x2=		dostanie się
	3		3

więcej

b.: mam wrażenie, że dobrze jest zacząć od przypadku n=2 −− do dzieła więc, TPB...

TPB: Uwaga: Poniższe rozwiązanie zawiera gdzieś błąd, ale nie wiem gdzie. Powyższe również są błędne. Od czasu wyjazdu nie zaglądałem do tego tematu i widzę, że jest tutaj trochę pomysłów. Z Mnożników Lagrange'a też próbowałem, ale porzuciłem ten pomysł, bo nic ciekawego mi nie wyszło. Co do stwierdzenia Wezyra: "gdy wszystkie z wyjątkiem 2 będą równe 0 ", wszystko ładnie, ale to przeczy założeniu, że wszystkie nasze liczby są dodatnie To przedstawię teraz, co ja nawywijałem (pochwalę się, a co), a zaczyna się moje rozwiązanie tak: Skorzystamy z naszego założenia, w miejsce 1 podstawimy sumę x₁+x₂+x₃+...x_n (1) ∑ⁿ_i=1 x_i⁴(1−x_i) = =x₁⁴(x₂+x₃+x₄+...x_n)+x₂⁴(x₁+x₃+x₄+...x_n)+x_n⁴(x₁+x₂+x₃+...x_n−1) =∑_i≠jx_i⁴x_j Ostatnia nasza suma posiada n(n−1) składników. Ponadto jest ona symetryczna. Udowodnimy pewną nierówność: (2) ∑_i≠jx_i⁴x_j ≤ (n−1)∑ⁿ_i=1 x⁵ A to można udowodnić w bardzo łatwy sposób: Przekształćmy tę nierówność i otrzymujemy coś takiego: ∑_i≠j (x_i−x_j)²(x_j+x_j)(x_i²+x_j²)≥0

	1
Stąd natychmiast wnioskujemy, że równość zachodzi dla x1=x2=x3=...=xn=
	n

Teraz policzymy tę największą wartość:

	1		n−1
(n−1)∑ni=1 xi5 = (n−1)*		=
	n4		n4

I tutaj dochodzimy do pewnego problemu, przyjmując np. n=3 mamy U[2}{81}, ale dla wartości 0,2

	2
0,3 i 0,5 mamy wartość większą niż		. Czyli gdzieś mam błąd, może macie jakieś pomysły.
	81

PS: Mam nadzieję, że nigdzie nie zrobiłem literówki. Jutro będę kombinował dalej, bo powiem, że jestem już zmordowany niepowodzeniami z tym zadaniem.

TPB: Errata: *Wyrażenie (1): ∑ⁿ_i=1 x_i⁴(1−x_i) = =x₁⁴(x₂+x₃+x₄+...x_n)+x₂⁴(x₁+x₃+x₄+...x_n)+...+x_n⁴(x₁+x₂+x₃+...x_n−1) =∑_i≠jx_i⁴x_j

TPB: W sumie nawet dla dwóch składników nie idzie mi wyznaczenie największej wartości.

TPB: Jednak dałem radę: Niech a,b>0 i a+b=1 Wtedy: a⁴b+ab⁴ = ab(a³+b³) = ab(a+b)(a⁺ab+b²) = ab(1−ab)

	1		1
Rozważmy teraz funkcję f: [0;		] →R daną wzorem f(x) = −x2+x gdzie x∊(0,		]
	4		4

	1		3
Jest ona w tym przedziale rosnąca, zatem największa wartość to f(		) =
	4		16

TPB: Głupi jestem źle wzór na a³+b³ napisałem, ale dalej idzie analogicznie Za dużo matematyki dzisiaj. Cóż jutro się podzielę kolejnymi wynikami, może zadanie uda się rozwiazać.