ciąg arytmetyczny-zadania otwarte kaja: PROSZĘ O POMOC ! CIĄGI MOJA ZMORA...proszę wytłumaczcie mi parę zadań W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu piątego do trzeciego wynosi 4, a różnica kwadratów wyrazy czwartego i wyrazu drugiego jest równa 24. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 490?

xXx:

a5		a+4r		4r
	=4 ⇒		=4 ⇒ a+4r=4a+8r ⇒ 3a=−4r ⇒ a= −
a3		a+2r		3

a₄²−a₂²=24 ⇒ (a₄−a₂)(a₄+a₂)=24 ⇒ (a+3r−a−r)(a+3r+a+r)=24 ⇒ 2r(2a+4r)=24

	4r		4r		4r		8r2
a= −		⇒ 2r[2*(−		)+4r]=24 ⇒ 2r*		=24 ⇒		=24 ⇒ r2=9 ⇒ r=3 lub r= −3
	3		3		3		3

	4r		(3n−11)n
1o dla r=3 a= −		= −4 Sn = 490 =		⇒ 3n2−11n−980=0
	3		2

	4r		(11−3n)n
2o dla r= −3 a= −		= 4 Sn = 490 =		⇒ −3n2+11n−980=0
	3		2

pamiętaj, że n∊ℕ wtedy n=20 gdyż reszta rozwiązań obu równań nie jest taką liczbą, czyli ostatecznie n=20

ICSP:

a5
	= 4 ⇔ a5 = 4a3 ⇔ a3 + 2r = 4a3 ⇔ 3a3 = 2r
a3

(a₄)² − (a₂)² = 24 ⇔ (a₄−a₂)(a₄+a₂) = 24 ⇔ (a₂ + 2r − a₂)2a₃ = 24 3a₃ = 2r r * a₃ = 6 1,5a₃² = 6 a₃² = 4 a₃ = 2 v a₃ = −2 wtedy odpowiednio r = 3 v r = −3. Drugi przypadek od razu odrzucamy i zajmujemy się analizą pierwszego a₃ = 2 i r = 3 a₃ = a₁ + 2r 2 = a₁ + 6 a₁ = −4 a_n = a₁ + (n−1)r a_n = −4 + 3n − 3 = 3n − 7

	a1 + an
Sn = 490 =		* n
	2

	−4 + 3n − 7
490 =		* n ⇔ 980 = 3n2 − 11n ⇔ 3n2 − 11n− 980 = 0
	2

Δ = 11881 √Δ = 109

	11 − 109
n1 =		odpada n musi być większe od 0
	6

	11+ 109		120
n2 =		=		= 20
	6		6

tomq:

a5
	=4
a3

a₄²−a₂²=24.. Sn=490?

a1+4r
	=4
a1+2r

4a1+8r=a1+4r 3a1=−4r a1=−4/3r (a1+3r)²−(a1+r)²=24 a1²+6ra1+9r²−a1²−2ra1−r²=24 4ra1+8r²=24/4 ra1+2r²=6 r(a1+2r)=6 r(−4/3r+2r)=6 r(2/3r)=6 2/3r²=6 2r²=18 r²=9 r=3. lub r=−3 a1=−4/3*3=−4 a1=4 Sprawdzamy...(−4+9)²−(−4+3)²=5²−1²=24... a

tomq: wiedziałem, że zrobiłem bład

kaja: Super, dziękuję. Nie taki diabeł straszny jak go malują

xXx: no jasne, że nie ciągi to jeden z prostszych działów

kaja: też mi się tak wydawało, ale trochę czasu minęło i pozapominałam parę ważnych informacji jak widzę..

ICSP: W ciągach wszystko opiera się na znajomości wzorów .

xXx: i to wzorow, ktore przy odrobinie zastanowienia można samemu wyprowadzić

Gustlik: W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu piątego do trzeciego wynosi 4, a różnica kwadratów wyrazy czwartego i wyrazu drugiego jest równa 24. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 490?

a5		4
	=4=		, stąd a5=4x, a3=x
a3		1

a₅−a₃=2r 4x−x=2r 3x=2r /:2 r=1,5x a₄²−a₂²=24 (a₄−a₂)(a₄+a₂)=24 a₄=a₃+r=x+r a₂=a₃−r=x−r (x+r−x+r)(x+r+x−r)=24 2r*2x=24 4rx=24 /:4 rx=6 Mamy teraz uk ład: { rx=6 { r=1,5x 1,5x²=6 /:1,5 x²=4 /√ 1) x=2 v 2) x=−2 r=1,5x 1) r=3 v 2) r=−3 a₃=x 1) a₃=2 v 2) a₃=−2 a₁=a₃−2r 1) a₁=2−2*3=2−6=−4 v 2) a₁=−2−2*(−3)=−2+6=4 Widać, że ciąg 2) będzie miał większość wyrazów ujemnych i jest malejący (r=−3 − ujemna różnica), więc jego suma nie może przyjąć tak dużej wartości dodatniej, rozpatruję wiec tylko przypadek 1). a₁=−4, r=3 Wyznaczam wzór ogólny tego ciągu: a_n=a₁+(n−1)*r=−4+(n−1)*3=−4+3n−3=3n−7 Liczę sumę:

	a1+an
Sn=		*n
	2

	−4+3n−7		3n−11
Sn=		*n=		*n
	2		2

3n−11
	*n=490 /*2
2

(3n−11)*n=980 3n²−11n−980=0 Δ=11881, √Δ=109

	1
n1=−16		, odpada, n nie może być ujemne,
	3

n₂=20 Odp. n=20