Ciągi okreslone rekurencyjnie TPB: Zadanie pochodzi z rozdziału indukcja matematyczna, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu, jakieś wskazówki najlepiej. Dane są dwa ciągi (a_n) oraz (b_n):

⎧	a1 = 3
⎩	an=3an−1 dla n>1

⎧	b1 = 4
⎩	bn=4bn−1 dla n>1

Udowodnij, że a₁000>b₉99 Dodam jeszcze, że zadanie pochodzi z rozdziału na temat Indukcji Matematycznej. Zbierając to wszystko do kupy, pomyślałem, aby udowodnić, że dla każdego naturalnego n zachodzi nierówność a_n>b_n−1, ale i to mnie przerosło. Nie wiem jak zrobić to zadanie, to jak pomożecie?

TPB: a₁₀₀₀>b₉₉₉ − to mamy udowodnić

Godzio: To, że pochodzi z tego rozdziału to nie oznacza, że masz udowodnić to indukcją, tutaj masz konkretny n, a nie dowolny więc indukcja tu za dużo nie ma do gadania. Ja bym postarał ustalić się wzory tych ciągów i pokazał to co trzeba udowodnić

Jack: gdyby udowodnił, że dla każdego n tak jest, to dla tego konkretnego też wykaże. Kiedyś już widziałem to zadanie... Pomyślę i jeśli nie będzie za późno, coś napiszę

Godzio: Teraz jak na to patrzę, to rzeczywiście lepiej dla każdego n

TPB: Cóż ja się poddałem, może jutro jeszcze coś popróbuję, a jak nie, to trudno... kiedyś do tego problemu wrócę. Co do pomysłu o wyznaczeniu wzorów ogólnych, to sadzę, że w tym wypadku to będzie bardzo uciążliwe. Te potęgi rozrosną się w kolumny, a potem liczenie będzie trudne. Już a₄ jest olbrzymią liczbą. Takie podejście raczej odpada. Co do indukcji, to pomyślałem, że skoro działa ta nierówność dla a₂>b₁, a₃>b₂ itd. a mam udowodnić, że a₁₀₀₀>b₉₉₉ to pewnie taka nierówność zachodzi dla każdego n. Chociaż nie można niczego wykluczyć Nie mam już pomysłów oraz chęci. Jutro napiszę do czego doszedłem, jeżeli coś ciekawego mi wyjdzie.

Jack: może tak: Ciągi określone jak wyżej. Przez indukcję: 1. a₂>b₁ bo 3³>4 2. załóżmy, że a_k>b_k−1 3. wykażemy, że a_k+1>b_k Widać, że ciągi a_n, b_n są rosnące oraz a_n, b_n>1 dla każdego n. Z założenia i określenia ciągów mamy, że a_k>b_k−1 ⇔ 3^a_k−1 > log₄ b_k. Stąd i z własności funkcji wykładniczej: a_k+1=3^a_k=3^3_ak−1>3^{log₄ b_k}>3^{log₃ b_k}=b_k.

Trivial: log₄b_k > log₃b_k? Chyba nie. Właściwie to mam przeczucie, że nie da się tego dowieść dla każdego n.

Jack: ojjj... pokręciłem coś gdzieś. Musze zerknąć na kartkę...

Jack: jednak miałem tak, jak zapisałem...

Trivial: Ja się nad tym zadaniem głowiłem ze 2 godziny i doszedłem do wniosku, że wcale nie musi być to prawdą... (Ale to tylko przeczucie).

Trivial: Teraz wpadłem na nowy pomysł. Co powiecie na taki dowód:

	an+1
Niech εn =		, wtedy aby dowieść nierówności an+1 > bn wystarczy pokazać, że
	bn

ε_n > 1.

	an+1		3an		3(an/bn−1)*bn−1
εn =		=		=		=
	bn		4bn−1		4bn−1

	3εn−1
= (		)bn−1
	4

	3εn−1
εn1/bn−1 =
	4

log₃(4ε_n^1/b_n−1) = ε_n−1

	1
εn−1 = log34 +		log3εn
	bn−1

ε_n > 1 ⇒ ε_n−1 > log₃4 ⇒

	1
εn−2 > log34 +		log3log34 ⇒
	bn−2

	1		1
εn−3 > log34 +		log3(log34 +		log3log34)
	bn−3		bn−2

	1
Teraz wystarczy pokazać, że np. εn−3 > log34 +		log3log34.
	bn−4

	1
Żeby to pokazać, trzeba pokazać, że np. εn−4 > log34 +		log3log34.
	bn−5

	1
Kontynuujemy to rozumowanie: εn−i > log34 +		log3log34.
	bn−(i+1)

Czyli w końcu wystarczy pokazać, że:

	1		1
ε2 > log34 +		log3log34 = log34 +		log3log34
	b1		4

	333		1
ε2 =		≈ 3*1010 >>> log34 +		log3log34
	44		4