indukcja matematyczna szarlotka: Witam Mam pewien problem z zadaniem, które brzmi następująco: udowodnij, że dla n∊Z jeżeli n≥2 n² + 1 nie jest podzielne przez 3. Udowodniłam to poprzez podstawienie za n 3k+1 i 3k+2, a jak udowodnić powinno się to założenie za pomocą indukcji? Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.

Basia: ⋀_n≥2 n²+1 nie jest podzielne przez 3 Twój sposób dowodu jest dobry tylko musisz rozważyć trzy przypadki: n = 3k, n = 3k+1, n=3k+2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− musisz mieć dowód indukcyjny ? Twój sposób w tym wypadku jest lepszy

szarlotka: niestety musi to być dowód indukcyjny... tylko jak go przeprowadzić? czy za n należy podstawić k+1?

szarlotka: może to ma wyglądać tak: jeżeli za n podstawię 2 (bo skoro n≥2 to chyba nie mogę podstawić 1?) wówczas n²+1=(2)²+1=5 z czego wynika, że 5 nie jest podzielne przez 3, zatem założenie jest prawdziwe? teraz chyba robi się dowód indukcyjny w ten sposób, że należy za n podstawić n+1, wyjdzie mi równanie kwadratowe, ale co takiego muszę zrobić w następnej kolejności? Będę bardzo wdzięczna za wszelkie podpowiedzi

Jack: 1. dla n=2 mamy 2²+1=5 lecz ∼3|5. 2. dla n=k zakładamy, że ∼∃m∊N 3m=k²+1 ⇔ ∀m∊N 3m≠k²+1 3. dla n=k+1 mamy udowodnić, że ∀p∊N 3p≠(k+1)²+1 Widać, że znacznie prościej będzie rozwiązać to podstawiając przypadki... albo niewprost.

szarlotka: tak, ale niestety moja psorka życzy sobie dowód poprzez indukcję...

szarlotka: he he tak sobie pomyślałam, że można zrobić jeszcze coś takiego: n n²+1 1 2 2 5 3 10 itp...

szarlotka: up