. marcin: Dwa identyczne ciała rzucono pionowo do góry z prędkością początkową v0 w odstępie czasu Δt jedno po drugim. Na jakiej wysokości spotkają się te ciała?

Trivial: Zajmiemy się analizą ruchu tylko w kierunku pionowym (oznaczenie: y). Wzór na trajektorię lotu ciała jest:

	1
y = v0t −		gt2
	2

Dla pierwszego ciała mamy:

	1
y1 = v0t1 −		gt12
	2

Dla drugiego ciała mamy:

	1
y2 = v0(t1+Δt) −		g(t1+Δt)2
	2

	1
y2 = v0t1 + v0Δt −		g(t12 + 2t1Δt + (Δt)2)
	2

	1		1
y2 = [v0t1 −		gt12] + v0Δt −		g(2t1Δt + (Δt)2)
	2		2

Przyrównując do y₁ otrzymamy:

	1
y2 = [y1] + v0Δt −		g(2t1Δt + (Δt)2).
	2

Gdy ciała się spotkają, będą na tej samej wysokości, czyli: y₁ = y₂

	1
y1 = y1 + v0Δt −		g(2t1Δt + (Δt)2)
	2

1
	g(2t1Δt + (Δt)2) = v0Δt
2

Rozwiązując ze względu na t₁:

	2v0Δt
2t1Δt + (Δt)2 =
	g

	2v0Δt
2t1Δt =		− (Δt)2
	g

	v0		Δt
t1 =		−		.
	g		2

Wstawiamy teraz do równania na y₁ (szukana wysokość) i otrzymujemy:

	v0		Δt		1		v0		Δt
h = v0(		−		) −		g[		−		]2 =
	g		2		2		g		2

v02

v0Δt

1

v02

v0Δt

(Δt)2

=

−

−

g(

−

+

) =

g

2

2

g2

g

4

	2v02		v0Δt		v02		v0Δt		(Δt)2g
=		−		−		+		−		=
	2g		2		2g		2		8

	v02		(Δt)2g
=		−		.
	2g		8

Trivial: Właściwie to na samym początku jest błąd.

Trivial: Zamiast t₁ + Δt wszędzie powinno być t₁ − Δt... Jako, że nie chce mi się wyprowadzać tego wszystkiego od nowa, zrobię innym sposobem (możliwie prostszym). Gdy ciało pierwsze osiąga h_max ma prędkość chwilową równą 0, czyli: v = v₀ − gt, czyli: 0 = v₀ − gt_max

	v0
tmax =		.
	g

Jest to czas, gdy ciało pierwsze osiągnęło maksymalną wysokość. Ciało drugie osiągnie tą samą wysokość maksymalną po Δt czasu. W tym czasie pierwsze ciało już opada. Oba ciała będą na takiej samej wysokości, gdy do t_max dodamy pół czasu Δt, czyli:

	1		v0		Δt
t0 = tmax +		Δt =		+		(porównaj wyprowadzenie wyżej).
	2		g		2

Mając czas, policzymy już łatwo wysokość:

1

v0

Δt

1

v0

Δt

h = v0t0 −

gt02 = v0(

+

) −

g(

+

)2 =

2

g

2

2

g

2

	v02		(Δt)2g
= ... (patrz post wyżej) ... =		−		.
	2g		8

bart: jak ja nienawidze zadan bez zadnych danych liczbowych