Matematyka dyskretna. Kolokwium Łukasz: 1. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że 2p−3 jest kwadratem liczby naturalnej 2. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że 2p+1 jest sześcianem liczby naturalnej

Vax: 1) Dla p=2 mamy 2p−3 = 1², zakładamy, że p > 2, rozpatrzmy 2 przypadki: 1*) p == 1(mod4) wtedy 2p−3 == 3(mod4) ale 3 jest nieresztą kwadratową mod 4 2*) p == 3(mod4) wtedy 2p−3 == 3(mod4) ale tak samo 3 jest nieresztą kwadratową mod 4 Czyli tezę spełnia jedynie p=2 2) Sprawdzamy, że dla p=2 nie działa, zakładamy, że p>2, 2p+1 = k³ ⇔ 2p = (k−1)(k²+k+1) ale k²+k+1 jest nieparzyste, więc musi być 2 = k−1 ⇔ k=3 i stąd dostajemy p=13, czyli 2p+1 będzie sześcianem jedynie dla p=13