Nierównośc z silniami TPB: Mam wykazać, że (2ⁿ)!>2^n! dla n≥2 I cóż jestem w kropce, próbowałem indukcją, ale nie bardzo to idzie, albo mam za mało doświadczenia w tym temacie. Wykonywałem też rozmaite akrobatyczne sztuczki, ale nijak mi nie chce się ta nierówność od swej pięknej strony pokazać. Tak czy siak zadanie dla chętnych. Ja nad tym posiedzę, kiedy zrobię (a łatwo nie odpuszczam) to wrzucę swoje rozwiązanie.

TPB: Chyba mam to idzie mniej więcej taki...

Trivial: Korzystając ze wzoru Stirlinga można wykazać, że: lg(n!) = Θ(nlgn) Załóżmy, że powyższa nierówność jest prawdziwa. (2ⁿ)! > 2^n! /lg lg[(2ⁿ)!] > n! f(n) = lg[(2ⁿ)!] = Θ(2ⁿlg2ⁿ) = Θ(n2ⁿ) f(n) > n! / lg g(n) = lg[f(n)] = Θ(lg(n2ⁿ)) = Θ(lgn + lg2ⁿ) = Θ(n) h(n) = lg(n!) = Θ(nlgn) Powracając do nierówności: g(n) > h(n), co nie jest prawdą (dla wystarczająco dużego n nierówność nie zachodzi). Więc wcale nie jest to prawdą.

TPB: 1. Sprawdzamy naszą nierówność dla n=2 4! = 24>4 = 2² 2. Dalej zakładamy, że nierówność zachodzi dla pewnego ustalonego k≥2 (2^k)!.>2^k! 3. Udowodnimy, że nierówność zachodzi dla k+1 (2^k+1)!>2^(k+1)! D−d: Przepiszę nierówność po przekształceniach, oczywiście w równoważnej postaci

	(2k+1)!
(2k)!*		> 2k!*2k+1
	(2k)!

	(2k+1)!		(2k+1)!
(2k)!*		>2k!*
	(2k)!		(2k)!

	(2k+1)!
2k!*		> 2k!*2k+1⇔(2k+1)! > 2(k+1)!*(2k)!
	(2k)!

Teraz rozpisując silnię po prawej stronie otrzymamy prawdziwą nierówność: (2^k+1)! = (2^k)!*(2^k+1)*(2^k+2)*(2^k+3)*...*2^k+1 > (2^k)!*2^k+1 Po skróceniu otrzymujemy: (2^k+1)*(2^k+2)*(2^k+3)*...*(2^K+1 − 1) > 1 Na mocy indukcji matematycznej otrzymujemy, że (2ⁿ)! >2^n! c.n.d A teraz już znalazłem błąd, rozwiązanie całe do d*** 2^(n+1)!≠2^n!*2ⁿ⁺¹ Taka rzecz prosta mi się wkradła. Cóż kombinuję dalej.

TPB: Trivial dzięki za Twoje rozwiązanie, chociaż nie bardzo łapię wszystkie rzeczy u Ciebie napisane. Wzór Strilinga kiedyś widziałem, ale trochę inaczej, chyba. Poczytać muszę na ten temat. Czyli nierówność nie jest prawdziwa, no to ja zatłukę zaraz kogoś, tyle się naślęczałem nad tym. ehh cóż bywa. Dziękuję, że uwolniłeś mnie od tej żmudnej pracy dowodzenia czegoś fałszywego, pewnie nigdy bym nie wpadł na to, że to fałszywa nierówność. Nie mam w swoim warsztacie jeszcze odpowiednich narzędzi

Vogl: a co sadzicie o takim pomysle: (2ⁿ)! > 2^n! 1*2*3*...*2ⁿ > 2^1*2*3*...n

	1
1*2*3*...*2n > 2(n−1)!*2n / *
	2n

1*2*3*...*2⁽ⁿ⁻¹⁾ > 2^(n−1)!

	1
1*2*3*...*2(n−1) > 2(n−2)!*2(n−1) / *
	2(n−1)

1*2*3*...*2⁽ⁿ⁻²⁾ > 2^(n−2)! i tak dalej i tak dalej

Trivial: Użyłem notacji asymptotycznej, żeby nie wdawać się w karkołomne obliczenia. Gdy nie wiesz jak coś rozwiązać najlepiej sprawdzić na wolframie. Ja na końcu swojego rozwiązania sprawdziłem, bo zazwyczaj ludzie nie dają fałszywych nierówności do udowodnienia no i: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n+to+infty+of+%282^n%29!+-+2^%28n!%29 Czyli 2^n! jest większe asymptotycznie.

TPB: I tak dalej doprowadzi nas to do nierówności 1>1

Vogl: masz rację teraz policzyłem, czyli także wychodzi że początkowa nierówność jest nieprawdziwa

TPB: Notacja asymptotyczna, wiem, że coś takiego jest. Coś mi świta małe "o" i wielkie "O". Ale nie wiem do czego takie coś służy. Przyjdzie na to kiedyś czas. W każdym razie bardzo dziękuję. A jeszcze pytanie czy z faktu, że 1>1 w rozw. Vogi wynika, że nierówność jest fałszywa? Możemy wysunąć taki wniosek?

Vax: Nie, 2^n! ≠ 2^(n−1)! * 2ⁿ co nie zmienia faktu, że nierówność nie jest prawdziwa.

TPB: Chociaż, co do tego, że wystarczy 1>1 mam teraz wątpliwości. Gdyby nierówność nie była ostra, to wskazywałoby, że nierówność jest prawdziwa. A równość zachodzi (prawdopodobnie) tylko dla n=1.

TPB: Vax to już wiem, z tym, że swoje rozwiązanie wklepywałem tak długo, że kolega mnie uprzedził. I stwierdziłem, że niech będzie już z tym błędem, może coś będe dalej z tego kombinował, ale jak widać daremne byłby moje wysiłki.

Trivial: A skąd wziąłeś tą nierówność?

TPB: Od kolegi, który napisał mi, abym ją udowodnił, bo jemu nie wychodzi. a skąd on ma to tego nie wiem.

TPB: W sumie doszedłem do wniosku, że to 1>1 wystarczy, tak jestem przekonany na 99%

TPB: OK ja znikam, nie będę się już mordował dzisiaj zadankami.

Trivial: A co jeśli nierówność byłaby nieostra? Wtedy też nie zachodzi. A wyszłoby 1≥1.

Vax: Ale jak chcesz przekształcić swoją nierówność równoważnie do 1>1?

Wezyr: Nierówność jest prawdziwa. Przecież jest podany warunek dla n≥2 czyli n=2 4!>4 skąd bierzecie 1>1 dla jakiego n wychodzą Wam te jedynki?

Trivial: Nierówność nie zachodzi już dla n=5.

Vogl: Trivial ma rację, najprostszym sposobem pokazania, że ta nierówność jest nieprawdziwa jest podstawienie za n piątki