ostatnim mamy jedynek suma to zwykły ciąg

oblicz spalony: 1+11+111+1111+...+111...1 1+11+102+1003+10004+...+x

2 sie 21:56

Vax: 1) 1+11+111+...+11..1 = (w ostatnim mamy n jedynek) = = 1 + (10+1) + (100+10+1) + ... + (10ⁿ⁻¹+10ⁿ⁻²+...+10+1) = = ∑_i=0ⁿ⁻¹ (n−i)10ⁱ = n∑_i=0ⁿ⁻¹ 10ⁱ − ∑_i=0ⁿ⁻¹i10ⁱ (*) 1 suma to zwykły ciąg geometryczny, drugą możesz wyznaczyć korzystając z metody zaburzania: ∑_i=0ⁿ⁻¹ i10ⁱ + n10ⁿ = ∑_i=0ⁿ i10ⁱ = 0*10⁰+∑_i=0ⁿ⁻¹(i+1)10ⁱ⁺¹ = 10∑_i=0ⁿ⁻¹i10ⁱ + ∑_i=1ⁿ 10ⁱ ⇔ 9∑_i=0ⁿ⁻¹i10ⁱ = n10ⁿ − ∑_i=1ⁿ10ⁱ =

	10ⁿ⁺¹−10		9n*10ⁿ − 10ⁿ⁺¹ + 10
n10ⁿ −		=		⇔ ∑_i=0ⁿ⁻¹i10ⁱ =
	9		9

	9n*10ⁿ−10ⁿ⁺¹+10

	81

licząc dalej otrzymujemy:

	9n*10ⁿ − 9n		9n*10ⁿ − 10ⁿ⁺¹+10		10ⁿ⁺¹−9n−10
(*) =		−		=
	81		81		81

2 sie 22:30

Vax: 2)

	10ⁿ⁺¹−1
1+11+102+1003+... = ∑_i=0ⁿ (10ⁱ+i) = ∑_i=0ⁿ 10ⁱ + ∑_i=0ⁿi =		+
	9

n(n+1)		2*10ⁿ⁺¹−2+9n²+9n		9n²+9n+2*10ⁿ⁺¹−2
	=		=
2		18		18

2 sie 22:37