Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennnych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji: f(x,y)=x²−xy+y²−2x+y

Piotr student: f'x=2x−y−2 f'y=−x+2y+1 f'x=0 f'y=0 2x−y−2=0 −x+2y+1=0 2x−y=2 −x+2y=−1/*2 2x−y=2 −2x+4y=−2 3y=0/:3 y=0 2x−y=2 2x=2+0 2x=2/:2 x=1 P=(1,0)

Piotr student: f''xx=2 f''yy=2 f''xy=−1 f''yx=−1

Piotr student: W(x,y)=f''xx*f''yy−f''xy*f''yx W(x,y)=2*2−(−1)*(−1)=4−1=3>0

Basia: wszystko jest dobrze, tylko trzeba teraz wyciągnąć ostateczne wnioski W(x,y) > 0 dla każdej pary (x,y) (bo nie zależy ani od x, ani od y) ⇒ W(1,0)=3>0 ⇒ w punkcie P(1,0) jest ekstremum f"_xx(x,y) = 2 dla każdej pary (x,y) (bo nie zależy ani od x, ani od y) ⇒w punkcie f"_xx(1,0) = 2 >0 ⇒ w punkcie P(1,0) jest minimum wartość tego minimum to f_min = f(1,0) = 1² − 1*0 + 0² − 2*1 + 0 = 1 − 2 = −1