Równanie z parametrem Janek: Jak rozwiązać to równanie z parametrem: (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) = 4a⁴

Basia: x+2,5a=t (t−1,5a)(t−0,5a)(t+0,5a)(t+1,5a) = 4a⁴ (t² − (1,5)²a²)(t²−(0,5)²)a²) = 4a⁴ (t² − 2,25a²)(t²−0,25a²) = 4a⁴ t⁴ − 0,25a²t² − 2,25a²t² + 0,562a⁴ − 4a⁴ = 0 t⁴ − 2,5a²t² − 3,438a⁴ = 0 a to już nie jest trudno rozwiązać

Trivial: W(x) = (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a). Problem: Liczba rozwiązań równania W(x) = 4a⁴. Analizę problemu rozbijamy na przypadki: 1. Niech a = 0, wtedy: x⁴ = 0 → jedno rozwiązanie. 2. Niech a > 0, wtedy rozwiążemy problem rysując wykres wielomianu. Zauważamy, że nasz wielomian jest w przedziale (−3a, −2a) niezwykle symetryczny i zgadujemy, że największą lokalną wartość przyjmuje dla x=−2.5a (jeżeli znasz pochodne możesz sobie to sprawdzić, ale symetria jest wystarczającym powodem ). W(−2.5a) = (−1.5a)*(−0.5a)(0.5a)(1.5a) = 0.5625a⁴. Ta wartość jest mniejsza niż 4a⁴, czyli część środkowa nigdy nie zwiększa liczby rozwiązań równania. Mamy więc dla każdego a > 0 dwa rozwiązania. 3. Niech a < 0, wtedy poprzez analogię do punktu 2 wnioskujemy, że mamy dwa rozwiązania. Ostatecznie równanie ma:

⎧	1 rozwiązanie rzeczywiste, gdy a=0
⎩	2 rozwiązania rzeczywiste, gdy a∊R\{0}	.

Wezyr: Może tak: dla a=0 ⇒ x=0 Zakładamy a≠0 i dzielimy obustronnie przez a⁴

	x		x		x		x
(		+ 1)(		+ 2)(		+ 3)(		+ 4) = 4
	a		a		a		a

Podstawiamy za

x
	= u i otrzymujemy:
a

(u + 1)(u + 2)(u + 3)(u + 4) = 4 dalej podstawiamy za

	5
u +		= y
	2

	3		1		1		3
(y −		)(y −		)(y +		)(y +		) = 4
	2		2		2		2

korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

	1		9
(y2 −		)(y2 −		) = 4
	4		4

podstawiamy za

	5
y2 −		= z
	4

(z + 1)(z − 1) −4 = 0 z² −5 = 0 => z = √5 lub z = −√5

	5
y2 =		+ √5
	4

lub

	5
y2 =		− √5 < 0, to odrzucamy
	4

y = √5/4 + √5 lub y = − √5/4 + √5

	5		5
u = −		+ √5/4 + √5 lub u = −		− √5/4 + √5
	2		2

	5		5
x = a(−		+ √5/4 + √5) lub x = a(−		− √5/4 + √5)
	2		2

Ten wzór jest tez słuszny dla a=0 też daje x=0

bart: ja bym wybral Basi sposób