Udowodnij nierówność TPB: Udowodnij nierówność: Założenia: a,b,c>0 a*b*c = 1 Teza:

a		b		c
	+		+		≥ a+b+c
b		c		a

Nie mogę nic sensownego wymyślić, ma ktoś jakieś pomysły?

Vax:

	x		y		z
Tak, podstawiając a=		, b=		, c=		otrzymujemy równoważną nierówność:
	y		z		x

xz		yz		xy		x		y		z
	+		+		≥		+		+
y2		x2		z2		y		z		x

Ale z ważonej am−gm mamy:

2yz/x2 + xz/y2		z
	≥
3		x

Analogicznie zapisujesz 2 pozostałe nierówności, dodajesz stronami i dostajesz tezę.

pomagacz:

a2c + ab2 + bc2
	≥ a + b + c ⇒ abc = 1
abc

a²c + ab² + bc² ≥ a + b + c uporządkujmy: a*b² + b*c² + c*a² ≥ a + b + c i tutaj widać, że lewa strona jest większa

pomagacz: http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%2Fb+%2B+b%2Fc+%2B+c%2Fa+%3E%3D+a+%2B+b+%2B+c

Vax: pomagacz, ale o co chodzi ? Napisałeś odwrotną implikację (która de facto jest błędna) dodatkowo mając ab² + bc² + ca² ≥ a+b+c nie można napisać, że ,,widać", iż dana nierówność jest prawdziwa, to nie jest żaden dowód.

TPB: dziękuję za pomoc ja kilka chwil temu sam już sobie poradziłem, trochę inaczej niż Vax, aczkolwiek bardzo dziękuję za pomoc.

Wezyr: Vax z jakie twierdzenia korzystasz pisząc"z ważonej am−gm mamy" Jeśli masz na myśli

2a + b
	≥ √ab
3

to jest nieprawdą.

Vax:

	a+a+b
Zapomniałeś o wagach, możesz sobie rozpisać 2a = a+a, więc w twoim przypadku		≥
	3

³√a²b co jest prawdą dla nieujemnych a,b..

Wezyr: OK! teraz pasuje.

tn: czy jest to poziom liceum rozszerzony ?

Jack: nie, to poziom olimpijski (specyficzne zadania i specyficzna wiedza)

Wezyr: Olimpiada dla gimnazjalistów?

Jack: ano.

tn: aha, a ja się dziwiłem dlaczego nie mogę wpaść na pomysł

huBson: A można zrobić to w taki sposób? Minaowicie: a/b +b/c +c/a to dla dodatnich abc jako wartość minimalna możemy zapisać jako ³ √1 * 3 ≥ a + b + c. Dalej mamy na mocy założenia 3≥ 1/bc + 1/ac + 1/ab i dzieląc równanie przez prawą stronę P otrzymamy 3/P≥1 i teraz z nierówności między średnią harmoniczną a geometryczną mamy pierwiastek 3. Stopnia a podnim abc cale do kwadratu co daje w ostatecznosci 1≥1 dobra metoda? Sorry za zapis ale pisze z ipada....