Potęgownie liczby zespolonej Łukasz: Witam, bardzo proszę o pomoc i wyjaśnienie dlaczego jest taki wynik owego zadania: (2+2i)³⁵ wynik w książce to :2⁵²(−1+i) a oto moje próby rozwiązania: |z| = 2√2³⁵(cos35*^√2₂+isin35*^√2₂) |z| = 2√2³⁵(cos35*^π₄+isin35*^π₄) |z| = 2√2³⁵(cos*^35π₄+isin*^35π₄) Czekam na podpowiedzi, pozdrawiam

Basia: z=2+2i |z| = √4+4 = √8 = 2√2

	2		1		√2
sinφ =		=		=
	2√2		√2		2

	2		1		√2
cosφ =		=		=
	2√2		√2		2

stąd:

	π
φ=
	4

z = 2√2(cos^π₄ + isin^π₄) z³⁵ = (2√2)³⁵*(cos^35π₄ + isin^35π₄) (2√2)³⁵ = 2³⁵*(√2)³⁵ = 2³⁵*(√2)³⁴*√2 = 2³⁵*2¹⁷*√2 = 2⁵²√2

35π		3π
	= 8π+
4		4

	√2
sin35π4 = sin(3π4+8π) = sin3π4 =
	2

	√2
cos35π4 = cos(3π4+8π) = cos3π4 = −
	2

	√2		√2
z35 = 252√2*(−		+ i		) =
	2		2

	√2
252√2*		*(−1 + i) =
	2

2⁵²*( −1 + i )

Łukasz: Super wszystko rozumiem, poza jednym dlaczego cos^3π₄ = −^√2₂, a sin^3π₄ = ^√2₂ skoro w tablicach jest sin^√2₂ = ^π₄. Wielkie dzięki

Basia: z jakich Ty tablic korzystasz ? chyba nie z tych co trzeba, tylko z tablic funkcji odwrotnych do sinusa i cosinusa, bo

	√2		π
arcsin		=
	2		4

i

	√2		π
arccos		=
	2		4

	π		π		√2
sin		= cos		=
	4		4		2

narysuj sobie trójkąt prostokątny równoramienny i policz

π
	to miara łukowa kąta 45o
4

	3π		π		π		√2
sin		= sin(π−		) = sin		=
	4		4		4		2

	3π		π		π		√2
cos		= cos(π−		) = − cos		= −
	4		4		4		2

Basia: tu masz wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów https://matematykaszkolna.pl/strona/421.html

Łukasz: Dzięki

Trivial: Alternatywny sposób: (2+2i)³⁵ = 2³⁵[(1+i)²]¹⁷(1+i) = 2³⁵[2i]¹⁷(1+i) = 2⁵²i(1+i) = 2⁵²(i−1).