Stereometria uczen: Bardzo proszę o pomoc Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AB| = a, |∡ACB| = 90^o, |∡CAB| = α. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze β. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Basia: niech P oznacza spodek wysokości ostrosłupa, a S jego wierzchołek w trójkątach: APS, BPS, CPS mamy wspólny bok PS |PS|=H ponadto ∡PAS = ∡PBS = ∡PCS = β natomiast ∡APS = ∡BPS = ∡CPS = 90 stąd wynika, że trójkąty APS, BPC i CPS są przystające (wszystkie kąty równe, jeden bok wspólny) czyli: AS=BS=CS = L AP = BP = CP ⇒ punkt P jest środkiem okręgu opisanego na tr.ABC ⇒ punkt P jest środkiem przeciwprostokątnej czyli: AP = BP = CP = R = ^a₂

	H		H
tgβ=		=
	R		a2

H = ^a₂*tgβ sinα= ^BC_AB = ^BC_a BC = a*sinα cosα=^AC_AB = ^AC_a AC = a*cosα

	AC*BC		a2*sinα*cosα
Pp =		=
	2		2

	a2*sinα*cosα
V = Pp*H =		*a2*tgβ =
	2

a3*sinα*cosα*tgβ
2

uczeń: Dziękuje bardzo

Basia: ¹₃ we wzorze na V mi zginąła

	a3*sinα*cosα*tgβ
V = 13*Pp*H =
	6

rumpek: Chyba błąd jest, mianowicie:

	1
Pp =		a2*sinα*cosα
	2

	1
H =		a*tgβ
	2

	1
V =		* Pp * H
	3

	1		1		1		a3*sinα*cosα*tgβ
V =		*		* a2 * sinα * cosα *		*a*tgβ =
	3		2		2		12

Naczy się nie przerabiałem sam stereometrii ale chyba można równie dobrze zaproponować: sin2α = 2sinαcosα

	1		1
Pp =		a2 * sinα * cosα =		a2*sin2α
	2		4

	1
H =		a*tgβ
	2

	1		1		1		a3*sin2α*tgβ
V =		*		a2 * sin2α *		* a * tgβ =
	3		4		2		24

I na maturze powinny zaliczyć oba wyniki bodajże

Basia: a tak, przeoczyłam tam jedną dwójką w mianowniku

	a3*sinα*cosα*tgβ		a3*sin2α*tgβ
V =		=
	12		24

oczywiście oba wyniki są poprawne i muszą być traktowane równorzędnie