Poproszę zadanko TOmek: Nudy troche na forum, jakby ktoś znalazł czas, to poprosze o zadanko. Najlepiej z Logarytmy/f.wykładnicza/coś typu udowodnij , a² +b² .... bla bla

ICSP: udowodnij że dla dowolnego ab > 0 zachodzi własność a² + b² = (a − √2ab + b)(a + √2ab + b)

Jack: to może coś takiego: Zad 1 Wyznacz wzór funkcji f określonej dla x≠0, spełniającej warunek:

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

Zad 2 Wykaż, że jeśli a,b,c>1, to log_a c+log_b c≥ 4log_ab c

TOmek: P=(a²+√2ab*a+ab−√2ab*a−2ab−√2ab*b+ba+√2ab*b+b²) P=a²+ab−2ab+ba+b² P=a²+2ab−2ab+b² P=a²+b² P=L

TOmek: zad2. a,b,c>1 log_ac+log_bc≥4log_abc

1		1		1
	+		≥4*
logca		logcb		logcab

1		1		4
	+		−		≥0
logca		logcb		logcab

nie wiem czy idę w dobrą stronę i to chyba pod tym jest błędnie zapisane..

4		1		1
	rozpisujemy jako 4*		*
logcab		logca		logcb

Jack: to ostatnie nie jest prawdziwe... − logarytm iloczynu to suma logarytmów.

TOmek:

4		1		1
	=4*		+		zapis ten jest prawdziwy?
logcab		logca		logcb

Jack: wciąż nie, bo

4		4
	=
logc ab		logca + logc b

Jack: ale na pocieszenie dodam, że idziesz w dobrą stronę

ICSP: Jack nie męcz go. Nawias zgubił

TOmek: to juz dobre info

Jack: nie tylko nawias

TOmek:

1		1		4
	+		−		≥0
logca		logcb		logca+logcb

no i tu mam nastepny problem, czy ten logarytm mozna zapisać w taki sposób:

	4		4		4
		=		+
	a+b		a		b

4		4		4
	=		+
logca+logcb		logca		logcb

Jack:

	1		1		1
a czy		=		+		?
	4		1		3

Niemniej zrobiłeś dobre podstawienie które Ci się przyda.

TOmek: ok, ok , jade dalej

TOmek:

1		1		4		4
	+		−		+		≥0
logca		logcb		logca		logcb

1		4		1		4
	−		+		+		≥0
logca		logca		logcb		logcb

−3		5
	+		≥0
logca		logcb

dobrze jest do tego momentu?

Jack: nie wiem jakim cudem rozdzieliłeś ten mianownik ułamka... Wróć do tej postaci:

1		1		4
	+		=
logca		logcb		logca +logcb

teraz dokonaj podstawienia (dla uproszczenia) i jedź dalej.

TOmek: źle przeczytałem i zrozumiałem Twoj post...

1		1		4
	+		−		≥0
logca		logcb		logca+logcb

i nie wiem co dalej, boje się ,ze znowu walne gafe, bo trudne są działania na logarytmach..

Jack: podstaw a=log_c a; b=log_c b, wykorzystaj fakt, że Twoje a,b>0 (z własności logarytmu) i wymnażaj odpowiednio strony a otrzymasz oczywistość. Teraz już górki

TOmek: a=log_ca, b=log_cb

b		a		4
	+		−		≥0
a*b		b*a		a+b

(a+b)*(a+b)		4*ab
	−		≥0
ab*(a+b)		(a+b)*ab

(a+b)*(a+b)−4*ab
	≥0
ab*(a+b)

a2+ab+ba+b2−4ab
	≥0
a2b+ab2

a2+2ab+b2
	≥0
ab*(a+b)

(a+b)2
	≥0
ab*(a+b)

a+b
	≥0
ab

a,b,c>1 więc owa nierówność jest prawdziwa, wystarczy?

Godzio:

Jack: rachunki...

a2+ab+ab+b2−4ab
	≥0 / * ab(a+b)
ab*(a+b)

a²−2ab+b²≥0 (a−b)²≥0 oczywista prawda

TOmek: pierwszy raz robie takie zadanko i to jest z logarytmów ;0

TOmek: własnie czekałem by użyc ten wzór, nawet nie sprawdzałem swoich rachunków. Co do zadania dużo sie nauczyłem, ale poziom był so hight Nie wiem jak się wziac za zadanie nr.1

Godzio: Zdziwiło mnie stwierdzenie TOmka a = log_ca b = log_cb

	a + b
doszedł do		i napisał a,b,c > 1 więc jest prawdziwa, pomijając fakt że
	ab

a,b,c > 1 to co innego niż a,b

Godzio: Wskazówka:

	1		1		2
Ma zachodzić dla każdego x ( f(x) ), to dla x =		też będzie ( f(		) ⇒ 2x =
	x		x		x

itd. )

TOmek: Godzio, przymknij troszeczke oko pierwszy raz robie jedno z trudniejszych zadań z logarytmów, sam się nauczyłem tego działu, więc powoli błędami do przodu, musze jeszcze raz przeanalizować te zadanie.

Godzio: E tam taki błąd pomieszało Ci się, nie potrzebnie Jack wprowadził takie oznaczenia na takich samych literkach

Jack: to prawda, chłopak się uczy Zastanawiałem się czy nie wprowadzić innych literek − no ale sam wcześniej zrobił to podstawienie Co do Zad 1, to znajdź drugie równanie (czyli dokonaj odpowiedniego podstawienia) i stwórz układ równań, z którego wyznaczysz f(x).

TOmek: teraz widzę te gafffę, "a" to jest cały wyraz logarytmiczny log_ca, , a nie ' liczba logarytmowana'.

TOmek:

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

	1
dla		wtedy wyeliminujemy 'x' przy '2'
	x

	1		1		1
f(		)+3f(		)=2x*
	x		1   x		x

	1		1
f(		)+3f(x)=2 ⇒ 3f(x)=2−f(		)
	x		x

	1		1
3f(		)+f(x)=2x ⇒ f(x)=2x−3f(		)
	x		x

	1
f(x)=2x−(2−f(		))
	x

	1
f(x)=2x−2+f(		)
	x

tylko tyle potrafie "wyciągnąc" z tego zadania ...

Jack: dobre podstawienie No to teraz traktując f(x) jako jedną niewiadomą a f(1/x) jako drugą wyznacz f(x) (czyli pozbądź się f(1/x) ).

Vax: Źle podstawiłeś.

	1
f(x) + 3f(		) = 2x
	x

	1
x:=
	x

	1		2
f(		)+3f(x) =
	x		x

Dalej sobie poradzisz

Jack: mówiąc o podstawieniu miałem na myśli wzięcie za x wyrażenia 1/x. Faktycznie podstawienie tego do samych równań jest błędne...

TOmek: zagubiłem sie juz

Jack: przyjrzyj się temu: "2x". jak podstawisz za "x" wyrażenie "1/x" to co dostaniesz? Na pewno nie

	1
"2*x*		"
	x

TOmek: ojej... głupi błąd.

	1		2
2*		=
	x		x

czyli

	x		2
3f(x)+f(		)=
	1		x

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

f(x)−a

	x
f(		) − b
	1

	2
3a+b=
	x

a+3b=2x i z tego ma wyjść coś sensowenego?

TOmek:

	x		1
tam f(		) −> f(		)
	1		x

TOmek: a=2x−3b

	2
3*(2x−3b)+b=
	x

	2
6x−9b+b−		=0 /*x
	x

6x²−8bx−2=0

Vax: No i z tego wyznaczasz ,,a", x traktujesz jako parametr.

Vax: Wystarczy 1 równanie pomnożyć przez 3 i odjąć stronami..

Jack: chcąc się pozbyć f(1/x), pomnóż po prostu pierwsze równanie przez 3 (jeszcze sprzed podstawienia − ono jest niepotrzebne) i odejmij pierwsze równanie od drugiego. Skrócą się "3*f(1/x)" a z tego co pozostanie wyznaczysz f(x).

TOmek:

	2
b=		−3a
	x

	2
a+3*(		)=2x
	x

	6
a+		=2x /*x
	x

ax−4x²+6=0 −4x²+ax+6 alles?

Vax: Skorzystaj z naszej wskazówki

TOmek:

	1		2
3f(x)+f(		)=		/*(−3)
	x		x

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		6
−9f(x)−3f(		)=
	x		x

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	6
−8f(x)=		+2x /(−8)
	x

	6
f(x)=		−16x
	−8x

pasuje?

Vax:

	2		6
2 błędy,		* (−3) ≠		oraz dzieląc 2x przez (−8) nie dostaniesz −16x
	x		x

TOmek: nie daje rady już.. wole pisać na kartce, wtedy wszystko lepiej widać : )

	1		−6
−9f(x)−3f(		)=
	x		x

	1
f(x)+3f(		)=2x
	x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	−6
−8f(x)=		+2x / : (−8)
	x

	−6		1
f(x)=		*(−8)+2x*(−		)
	x		8

	48		x
f(x)=		−
	x		4

TOmek: omg.. nie patrzcie na to...

	6		x
f(x)=		−
	8x		4

Vax:

	3		x
Dobrze, f(x) =		−		. Na koniec pozostaje jeszcze sprawdzenie, czy dana funkcja
	4x		4

	1
faktycznie spełnia początkowe założenie: f(x)+3f(		) = 2x
	x

TOmek: spełnia, spełnia, dzieki wielkie za zadanka i pomoc