Wyrazy ciągu i średnie teofrast: Wyrazy ciągu i średnie Dany jest ciąg {a_n} ∊ R taki, że 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ .... ≤ a_n. Pokazać, że a) 4 a₁a_n A_n ≤ ( a₁ + a_n )² H_n b) a₁a_n + Q_n² ≤ ( a₁ + a_n ) A_n ( A_n − średnia arytmetyczna n liczb, H_n − śr. harmoniczna n liczb, Q_n − śr. kwadratowa n liczb )

pomagacz: średnia harmoniczna n wyrazów ciągu:

	n
Hn =
	1   1   1   + + ... + a1   a2   an

średnia arytmetyczna n wyrazów ciągu:

	a1 + a2 + ... + an
An =
	n

średnia kwadratowa n wyrazów ciągu:

	a12 + a22 + ... + an2
Qn = √		pod pierwiastkiem wszystko jakoby co...
	n

myślę, że wiesz o co chodzi z tymi wzorami, miałem tylko dwie ostatnie średnie, o harmonicznej teraz usłyszałem... ok, teraz o zadaniu cały ciąg jest większy od zera, to wiemy, postaram się coś wskórać z ppkt. b)

	a12 + a22 + ... + an2		a1 + a2 + ... + an
a1 * an +		≤ (a1 + an) *
	n		n

	a1 + a2 + ... + an		a1 + a2 + ... + an
P = a1 *		+ an *		=
	n		n

	a1(a1 + a2 + ... + an)		an(a1 + a2 + ... + an)
=		+		=
	n		n

	(a1 + an)(a1 + a2 + ... + an)		(a1 + an)2(a2 + a3 + ... + an−1)
=		=
	n		n

	n(a1 * an)		a12 + a22 + ... + an2
L =		+		=
	n		n

	n(a1 * an) + (a12 + a22 + ... + an2)
=		=
	n

	n*a1*an + a1 + an + a2 + a3 + ... + an−1
=		= ...
	n

dalej już nie wiem, mogłem pochrzanić coś, sorry za bazgroły, trza nad tym popracować, brak mi pomysłu, jak coś spłodzę z tego to napiszę

teofrast: Do tego zadania trzeba wiedzy Vaxa, którego wiedzę i doświadczenie oraz profesjonalną intuicję matematyczną na tym forum niezmiernie cenię....Szanowny Vaxie gdzie jesteś? Zapomniałeś o mnie ?! Pozdrawiam i czekam... < teofrast >

Vax: Spokojnie, ostatnio prawie cały czas jestem poza domem, ale kiedy jestem staram się wszystko na bieżąco robić a) Korzystamy z takiej mało znanej, jednak wartej zapamiętania uogólnienia nierówności Cauchy'ego Schwarza, otóż mówi ona, że dla ciągów rzeczywistych dodatnich liczb x_i , y_i, spełniających dla pewnych m oraz M:

	xi
0 < m ≤		≤ M
	yi

zachodzi:

	(m+M)2
(∑symx12)(∑symy12) ≤		* (∑sym x1y1)2
	4mM

No i teraz nasza nierówność ma postać: 4a₁a_nA_n ≤ (a₁+a_n)² * H_n co w prosty sposób można przekształcić do:

	1		(a1+an)2
(∑sym		)(∑syma1) ≤		*n2
	a1		4a1an

Co jest prawdzie na mocy tego co napisałem na początku przyjmując, że m = a₁ , M = a_n , x_i =

	1
√ai , yi =		dla i ∊ {1;2;3;..;n−1;n}
	√ai

b) Nasza nierówność ma postać: a₁a_n + Q_n² ≤ (a₁+a_n)*A_n Co po wymnożeniu przez n jest równoważne: na₁a_n + ∑_syma₁² ≤ (a₁+a_n)(∑_syma₁) Teraz trzeba jakoś skorzystać z założenia, zauważmy, że zachodzi dla i ∊ {1;2;..;n} (a₁−a_i)(a_n−a_i) ≤ 0 ⇔ a₁a_n+a_i² ≤ (a₁+a_n)a_i Dodając n razy taką nierówność dostajemy tezę. Pozdrawiam.