Średnia arytmetyczna i kwadratowa teofrast: Średnia arytmetyczna i kwadratowa. Niech Q_n oznacza średnią kwadratową n liczb a₁, a₂, ......, a_n , oraz A_n ich średnią arytmetyczną. Pokazać, że jezeli 0 ≤ a_i ≤ 1 ( i = 1, 2, .... , n ) , to 2√n Q_n ≤ n A_n + 1 .

Vax: Czyli równoważnie: 2√∑_syma₁² ≤ ∑_syma₁ + 1 Niech teraz S_k = ∑_syma₁^k, czyli mamy dowieść: 2√S₂ ≤ S₁+1/² 4S₂ ≤ S₁²+2S₁+1 Z am−gm szacujemy prawą stronę: P ≥ 4⁴√S₁⁴ = 4S₁ czyli mamy dowieść 4S₁ ≥ 4S₂ ⇔ ∑_sym a₁(1−a₁) ≥ 0, co będzie oczywiście prawdziwe, ponieważ a_i ∊ <0;1> Pozdrawiam.

teofrast: Dzięki, Vax . No to zaraz puszczę nastepne. Teraz będzie seria łatwiejszych nierówności (a potem znów trudniejsze). Pozdrawiam . <t>