wyznacz wszystkie wartości k Monika: wyznacz wszystkie wartości k, dla których równanie z niewiadomą x ma trzy różne rozwiązania (x−2)(x²−2kx+1−k²)=0

ICSP: Δ > 0

ICSP: oraz trzeba jeszcze wykluczyć k dla którego rozwiązanie trójmianu w nawiasie będzie 2

Basia: (x−2)(x²−2kx+1−k²)=0 ⇔ x−2=0 ∨ x²−2kx+1−k² = 0 ⇔ x=2 ∨ x²−2kx+1−k² = 0 równanie x²−2kx+1−k² = 0 musi mieć dwa różne i różne od 2 rozwiązania Δ> 0 Δ = (−2k)² − 4*1*(1−k²) = 4k²−4+4k² = 8k²−4 8k²−4>0 /:2 4k² − 2 >0 (2k−√2)(2k+√2)>0

	√2		√2
k∊(−∞, −		)∪(		, +∞)
	2		2

√Δ = √8k²−4 = √4(2k²−1) = 2√2k²−1

	2k−2√2k2−1
x1 =		= k − √2k2−1
	2

	2k+2√2k2−1
x2 =		= k + √2k2−1
	2

x₁ ≠ 2 ∧ x₂≠2 x₁≠2 k − √2k²−1 ≠ 2 k − 2 ≠ √2k²−1 /² (k−2)² ≠ 2k²−1 k²−4k+4 ≠ 2k²−1 −k² − 4k +5 ≠0 /*(−1) k²+4k−5 ≠ 0 Δ₁ = 16 − 4*1*(−5) = 36

	−4−6
k1 =		= −5
	2

	−4+6
k2 =		= 1
	2

stąd:

	√2		√2
k∊(−∞, −		)∪(		, +∞)\{−5,1}
	2		2

tak samo należy rozważyć trzeci warunek x₂ ≠2 i też uzyskane wyniki odrzucić

ICSP: x² − 2kx + 1 − k² = 0 pierwiastkiem nie może być x = 2. Zatem sprawdźmy dla jakiego k x = 2 będzie pierwiastkiem. Dzięki temu uda nam się wykluczyć odpowiednie k 4 − 4k + 1 − k² = 0 k² + 4k −5 = 0 k² −k + 5k − 5 = k(k−1) + 5(k−1) = (k−1)(k+5) k = 1 v k = −5 Basia zawsze lubiła bardziej skomplikowane metody

Jack: pamiętaj, że również Δ>0, bo inaczej mogą być ≠2 lecz np. x₁=x₂=3