granica w punkcie z mianownikiem zerowym Smok: Klasyk, a ja się głowię jak głupi. Jak się za to zabrać? Oblicz granicę przy x → 2

x2−1
x−2

Basia: nie istnieje; trzeba policzyć lewostronną i prawostronną lim_x→2 (x²−1) = 3

	1
limx→2−		= −∞
	x−2

	x2−1
limx→2−		= 3*(−∞) = − ∞
	x−2

	1
limx→2+		= +∞
	x−2

	x2−1
limx→2+		= 3*(+∞) = + ∞
	x−2

Smok.: Najgorsze jest to, że w książce Krysickiego i Włodarskiego "Analiza Matematyczna w Zadaniach" (PWN '71) jest podane rozwiązanie tego zadania − i wynosi 4. Nie mam pojęcia dlaczego, skoro tak właśnie zrozumiałem, że jeśli w mianowniku jest zero − to jest asymptota.

Jack:

	x2−4
nie zawsze jest asymptota, sprawdź czy nie powinno być czasem		...
	x−2

Smok.: Nie. Sprawdziłem kolejny raz − zadanie przepisałem prawidłowo. Hehehe.... gubię się. To co może jeszcze być kiedy mianownik daje zero?

Jack: No to skoro jest taka odpowiedź, to prawdopodobnie literówkę popełnili.

	x
Możesz dostać "lukę" w wykresie, np. f(x)=		=1, D: x∊R\{0}. Dostaniesz linię prostą na
	x

poziomie 1 z wyjątkiem x=0 − tam będzie przerwa. Granica oczywiście istnienie i jest równa 1 (ponadto jest oczywiście ciągła w swojej dziedzinie). Ogólnie, chodzi więc o przypadek, gdy wraz z zerowaniem się mianownika zeruje się też licznik.

Smok.: Tak. Kiedy zeruje się licznik i mianownik otrzymujemy oczywiście funkcję nieoznaczoną i musimy ją przekształcać. Ale to inna pieśń. Jednakże coś mi się nie bardzo widzi ta literówka w książce. Choć to wydanie z 71 roku, to nie jest bynajmniej pierwsze. Książka ma już ponad... 50 lat . Mam też PDF z jakiegoś późniejszego wydania książki i zadanie jest to samo i ma takie samo rozwiązanie.

Jack: 1. funkcja "nieoznaczona"? W każdym razie to właśnie ta "sama pieśń" − nie zawsze w punkcie wyrzuconym z dziedzina mamy asymptotę (i nie zawsze daje się taką funkcję łatwo przekształcić)! 2. Jeśli nie przyjmujesz takiego uzasadnienia, to masz dokładną odpowiedź Basi (poza tym wiele literówek znajdziesz u Krysickiego − co jakiś czas ktoś na coś trafia).

Basia: Tam jest błąd w odpowiedzi albo w treści zadania, od nie wiem już, którego wydania, nie poprawiony. Prawdopodobnie jest to błąd drukarski w treści zadania i miało być tak jak pisze Jack:

x2−4
x−2

Smok.: Ekhm.... No to mi daliście bobu.. Dzięki.