Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y):

	1		1
f(x,y)=4xy+		+
	x		y

Piotr student:

	1
f'x=4y−
	x2

	1
f'y=4x−
	y2

f'x=0 f'y=0

	1
4y−		=0/*x2
	x2

	1
4x−		=0/*y2
	y2

4x²y−1=0 4xxy²−1=0

Basia: 1. dziedzina funkcji x≠0 ∧ y≠0 D = RxR\{(0,y), (x,0)} 2. pierwsze pochodne

	1
f'x = 4y −
	x2

	1
f'y = 4x −
	y2

3. punkty stacjonarne czyli miejsca zerowe pierwszych pochodnych

	1
4y −		= 0 /*x2
	x2

	1
4x −		= 0 /*y2
	y2

4x²y − 1 = 0 4xy² − 1 = 0 4x²y = 1 4xy² = 1 4x²y = 4xy² 4x²y − 4xy² = 0 4xy(x − y) = 0 x=0 (odpada, bo pary (0,y) nie należą do D) lub y=0 (odpada, bo pary (x,0) nie należą do D) lub x−y = 0 x = y podstawiam do pierwszego równania za y 4x³ − 1 = 0 4x³ = 1 x³ = ¹₄

	1
x = 3√14 =
	3√4

	1
y = x =
	3√4

	1		1
jedynym punktem stacjonarnym jest P(		,		)
	3√4		3√4

4. drugie pochodne

	1		1		1		1
f"xx = (4y −		)' = 0 − (		)' = − [ −		*(x2)' ] =		*2x =
	x2		x2		(x2)2		x4

	2
	x3

f"_xy = 4 f"_yx = 4

	1		1		1		1
f"yy = (4x −		)' = 0 − (		)' = − [ −		*(y2)' ] =		*2y =
	y2		y2		(y2)2		y4

	2
	y3

5. wyznacznik Hessego

	2		2		4
W(x,y) =		*		− 4*4 =		− 4
	x3		y3		x3y3

6. wartość wyznacznika w p−cie P

	1		1
W(		,		) =
	3√4		3√4

4		4		16
	− 4 =		− 4 = 4*		− 4 = 64 − 4 = 60 > 0
14*14		116		1

czyli w punkcie P będzie jakieś ekstremum 7. wartość f"_xx w punkcie P

	1		1		1		2		4
f"xx(		,		) = U{2}{		=		= 2*		= 8 > 0
	3√4		3√4		(3√4)3		14		1

	1		1
czyli w punkcie P(		,		) funkcja ma minimum
	3√4		3√4

8. wartość minimum

	1		1
f(		,		) =
	3√4		3√4

	1		1		1		1
4*		*		+		+		=
	3√4		3√4		1   3√4		1   3√4

4
	+ 3√4 + 3√4 =
(3√4)2

4
	+ 23√4 =
(3√4)2

4 + 23√4*(3√4)2)
	=
(3√4)2

4+2*4
	=
3√42

12		12		12		6
	=		=		=		=
3√16		3√8*2		23√2		3√2

6*(3√2)2		63√4
	=		= 33√4
3√2*(3√2)2		2

Piotr student: coś jeszcze trzeba liczyć Basiu?

Basia: całe zadanie masz rozwiązane krok po kroku; postaraj się to rozwiązanie przeanalizować; jeżeli czegoś nie rozumiesz pytaj o konkrety i zapamiętaj, że w tych zadaniach kolejność jest zawsze taka sama (patrz schemat rozwiązania, który Ci kiedyś napisałam)

Basia: tam w (5) i (6) jest drobny błąd rachunkowy, ale on nie wpływa na wyniki w (5) powinno być: W(x,y) = ....... − 16 w (6) powinno być: ................ = 64 − 16 = 48 > 0

Piotr student: a w 7 punkcie jest wszystko ok Basiu

Basia: tak, tylko zapis mi się nie udał; tam ma być:

	2
......=		= .....
	1   (3√4)3

reszta jest w porządku

Piotr student: a możemy zrobić punkt 5

Basiua: nie bardzo rozumiem W(x,y) = f"_xx*f"_yy − f"_xy*f"_yx podstawiam pochodne wyliczone w punkcie (4) i mam

	2		2		4
W(x,y) =		*		− 4*4 =		− 16
	x3		y3		x3y3

Basia: Co za licho narozrabiało w moim nicku ?

Piotr student: mozesz mi policzyć jeszcze raz punkt 5 Basiu

Basia: no przecież policzyłam; wpis z 18:45