objetosc stozka Vogl: Wycinek koła o promieniu R i kącie środkowym α zwinięto w powierzchnię boczną stożka. Dla jakiego α objętość otrzymanego stożka jest największa? Oblicz tę objętość.

Basia: długość łuku wycinka o promieniu R stanie się obwodem koła o promieniu r czyli podstawy stożka

długość łuku		α
	=
długość koła		2π

	α
długość łuku = 2πR*		= Rα
	2π

stąd: 2πr = Rα

	Rα
r =
	2π

L = R r²+h² = L²

R2α2
	+h2 = R2
4π2

	α2		4π2 − α2
h2 = R2*[ 1 −		] = R2*
	4π2		4π2

	√4π2 − α2
h = R*
	2π

V = πr²*h

	R2α2		√4π2 − α2
V = π*		*R*
	4π2		2π

	R3α2√4π2 − α2
V =
	8π2

	R3		α2
V =		*
	8π2		√4π2 − α2

	R3		1   2α√4π2 − α2 − α2* *(−2α)   2√4π2 − α2
V' =		*
	8π2		4π2 − α2

	R3		2α(4π2 − α2) + α3
V' =		*
	8π2		(4π2 − α2)*√4π2 − α2

	R3α		8π2 − 2α2 + α2
V' =		*
	8π2		(4π2 − α2)*√4π2 − α2

	R3α		8π2 − α2
V' =		*
	8π2		(4π2 − α2)*√4π2 − α2

V' = 0 ⇔ 8π² − α² = 0 a ponadto znak pochodnej zależy tylko od znaku funkcji f(α) = − α² + 8π² stąd: α² = 8π² α = 2√2π i jest to oczywiście maksimum (wykres f(α) to parabola, ramiona w dół, miejsca zerowe: − 2√2π i 2√2π; to ujemne nas nie obchodzi bo z treści zadania wynika, że α∊(0, 2π> ) sprawdź obliczenia, mogłam się gdzieś pomylić

Basia: to jest szlaczek, dla Jakuba i zainteresowanych wszystko co przed szlaczkiem należy zignorować

Basia: długość łuku wycinka o promieniu R stanie się obwodem koła o promieniu r czyli podstawy stożka

Dłuku		α
	=
Dokręgu		2π

Dłuku		α
	=
2πR		2π

	α*2πR
Dłuku =
	2π

D_łuku = αR 2πr = αR

	αR
r =
	2π

L = R r²+h²=L² h² = L² − r²

	α2R2
h2 = R2 −
	4π2

	4π2R2 − αR2
h2 =
	4π2

	R2
h2 =		*(4π2 − α2)
	4π2

	R
h =		√4π2 − α2
	2π

	1
V =		πr2*h
	3

	1		α2R2		R
V =		π*		*		√4π2−α2
	3		4π2		2π

	α2R3
V =		√4π2 − α2
	24π2

	R3
V =		*α2*√4π2 − α2
	24π2

traktujemy V jak funkcję zmiennej α α∊(0, 2π>

	R3		1
V' =		*[ 2α√4π2 − α2 + α2*		*(−2α) ]
	24		2√4π2 − α2

	αR3		2(4π2 − α2) − α2
V' =		*
	24		√4π2 − α2

	αR3		8π2 − 3α2
V' =		*
	24		√4π2 − α2

V' = 0 ⇔ α=0 ∨ 8π² − 3α² = 0 α=0∉D czyli 3α² = 8π²

	8π2
α2 =
	3

	√24π		2√6π
α = ± U{√8π}{√3 = ±		= ±
	3		3

	2√6π
ponieważ α = −		∉D to
	3

	2√6π
α =
	3

ponadto znak pochodnej zależy wyłącznie od znaku wyrażenia f(α) = 8π² − 3α² bo pozostałe czynniki są stale dodatnie stąd

	2√6π
α∊(0,		) ⇒ f(α)>0 ⇒ V' >0 ⇒ V rośnie
	3

	2√6π
α∊(		,2π) ⇒ f(α)<0 ⇒ V' <0 ⇒ V maleje
	3

stąd:

	2√6π
αmax =
	3

	R3		24π2
Vmax =		*		*√4π2 − 24π29
	24π2		9

te rachunki już sobie sam dokończ