Równanie diofantyczne TPB: Polecenie: Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: y²(x−1) = x⁵ − 1 Prószę o pomoc w rozwiązaniu. Ja doszedłem narzazie do prostych i dość oczywistych wniosków. 1. Jeżeli 0 uznajemy za naturalne, to: równanie jest spełnione przez parę (x,y) = (1,y) gdzie y∊{0,1,2,3,4...} Ponadto równanie spełnia para liczb (0,1) Dalej zakładam, że x,y∊{2,3,4,5,...} 2. Przekształciłem równanie do postaci y² = 1+x+x²+x³+x⁴ Zauważyłem jak na razie, że jest kolejne rozwiązanie (x,y) = (3,11) Nie wiem, co dalej z tym zrobić. Coś mi w środku mówi, że jest to ostatnie rozwiązanie. Ale nie wiem jak to pokazać. Nie mam żadnego pomysłu na rozwiązanie. Jakieś wskazówki? Będę wdzięczny.

Basia: y²−1 = x⁴+x³+x²+x (y−1)(y+1) = x³(x+1) + x(x+1) = x(x+1)(x²+1) ponieważ mają to być liczby naturalne powinno być x(x+1) = y+1 x²+1 = y−1 (bo x(x+1) = x²+x > x²+1 dla x>1, a y+1>y−1 w sposób oczywisty) x²+x = y+1 −x²−1 = −y+1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x−1=2 x = 3 y −1 = 9+1 y = 11 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− teoretycznie możliwe są inne kombinacje np. y−1 = x y+1 = (x+1)(x²+1) lub y−1= x+1 y+1 = x(x²+1) rozważ je, powinny doprowadzić albo do sprzeczności, albo do innych rozwiązań −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wprawdzie nie do końca mnie to przekonuje, bo np. 10*12 = 3*4*10 ale może być też 10*12 = 2*4*15 i wtedy żadna z tych kombinacji nie jest prawdziwa, ale innego pomysłu nie mam

Vax: Basia jak sama zauważyłaś to nie zawsze działa, działałoby wtedy, gdyby y−1 oraz y+1 były pierwsze, można wszystkie rozwiązania znaleźć tak, na początku zauważmy, że jeżeli dla pewnych całkowitych n,k zachodzi: −2n+1 < k < 2n+1 to n²+k jest kwadratem jedynie dla k=0 (istotnie, z założenia mamy (n−1)² < n²+k < (n+1)² pomiędzy (n−1)² a (n+1)² jedyna liczba naturalna będąca kwadratem to n², czyli n²+k = n² ⇔ k=0) no i teraz zauważmy, że:

	x5−1
y2 =
	x−1

Dzieląc sprawdzamy oddzielnie przypadek gdy x=1 i widzimy, że dane równanie spełnia para (x,y) = (1,t) gdzie t to dowolna liczba naturalna. Dalej otrzymujemy: y² = x⁴+x³+x²+x+1 Sprawdzając teraz oddzielnie przypadek gdy x=0 widzimy, że dane równanie jest spełnione również przez parę (x,y)=(0,1) Zauważmy, że jeżeli x⁴+x³+x²+x+1 jest kwadratem, to jest nim również: y² = 4(x⁴+x³+x²+x+1) = (2x²+x+1)²+(−x²+2x+3) Podstawiając n = 2x²+x+1 oraz k=−x²+2x+3 widzimy (zgodnie z tym co podałem i udowodniłem na początku), że dane wyrażenie będzie kwadratem jedynie dla −x²+2x+3=0 co zajdzie (x naturalne) dla x=3, wówczas y=11, podsumowując dane równanie spełniają pary: (x,y) = (0,1) v (3,11) v (1,t) gdzie t jest dowolną liczbą naturalną. Pozdrawiam.

TPB: Bardzo ciekawe rozwiązanie, sam nigdy bym na to nie wpadł. Bardzo dziękuję Wam za pomoc. Pozdrawiam i życzę miłego dnia.