Średnia arytmetyczna, kwadratowa i geometryczna teofrast: Kwadraty średnich. Określamy dla n liczb RZECZYWISTYCH ( dodatnich lub ujemnych ) a₁, a₂, ..., a_n , ich średnią arytmetyczną A_n, kwadratową Q_n oraz wyrażenie G_n² , oznaczające średnią geometryczną kwadratów a₁, a₂, ..., a_n . Pokazać (NIE posługując się indukcją), że : n [A_n]² ≤ ( n−1 ) [Q_n]² + G_n² .

Vax: Zauważmy, że z nierówności Shleifer'a wynika: (∑_sym a₁)² ≤ (n−1)∑_sym a₁² + n*ⁿ√(a₁a₂..a_n)² Czyli: 2∑_syma₁a₂ ≤ (n−2)∑_sym a₁² + nⁿ√(a₁a₂..a_n)² Dzieląc stronami przez n dostajemy:

2∑syma1a2		n−2		∑syma12
	≤ (		)∑syma12 + n√(a1a2..an)2 /+
n		n		n

(∑syma1)2		∑syma12
	≤ (n−1)*		+n√(a1a2..an)2
n		n

Co jest tym samym, co: n * A_n² ≤ (n−1)Q_n² + G_n² cnd. Pozdrawiam. Btw. Skąd Ty bierzesz te nierówności?

teofrast: Vax, jesteś genialny... Wystarczy « tylko » znać « nierównośc Shleifera » Mógłbyś coś wiecej na ten temat ? Pełny tekst twierdzenia + Skad to wziąłeś ? Jakaś literatura ? Co do Twojego pytania o moje źródło zadań − jak Ci powiem nie uwierzysz.... Otóż Ukrainka, która raz na dwa tygodnie pomaga mojej mamie w cięższych pracach domowych, jest ( a raczej była ) z zawodu nauczycielką matematyki...Oni mieli taki przedmiot na studiach « Praca z uczniem uzdolnionym », w ramach którego musieli sami ( jako przyszli nauczyciele ) , na zaliczenie, rozwiązać 2000−2500 zadań niestandardowych typu olimpijskiego . Pani Halinka (bo tak się nazywa ) przywiozła mi z domu jakieś fragmenty notatek z tekstami niektórych zadań, których nigdy sama nie rozwiązała ( bo przepisała gotowce − jak mówi − od kolezanki i wolała jak najszybciej o tym zapomnieć...) To wszystko co mam od niej, opublikuję tutaj, ku Twojej uciesze (mam nadzieję...) Pozdrawiam.

Vax: Szczerze mówiąc za dużo Ci o tej nierówności powiedzieć nie mogę, mówi nam ona o tym, że dla dowolnych rzeczywistych a_i zachodzi: (∑_syma₁)² ≤ (n−1)∑_syma₁² + nⁿ√(a₁a₂..a_n)² O tej nierówności usłyszałem jakieś pół roku temu na obozie matematycznym, z tego co wiem została pokazana w 1979r, jeżeli chcesz możesz spróbować poszukać więcej informacji w google, chociaż z tego co patrzyłem za dużo o niej nie piszą. Pozdrawiam.

teofrast: To teraz trzeba by się pokusić o jej udowodnienie... Ze swojej strony tez poszukam. Jeśli cos znajdę to dam znać... Pozdrawiam, <teofrast>

Vax: Udowodnienie nie jest ciężkie, można skorzystać z uogólnionej nierówności Popoviciu, mówi nam ona o tym, że jeżeli funkcja f(x) jest wypukła na przedziale X, to dla x_i ∊ X zachodzi:

	∑k=1n xk		x1+x2
(n−2)(∑k=1n f(xk)) + nf(		) ≥ 2∑symf(		)
	n		2

Nasza nierówność jest prawdziwa na mocy tej nierówności, przyjmując, że f(x) = e^x oraz x_i = 2lna_i Pozdrawiam.

teofrast: Witaj Vax! Dziękuję bardzo. Teraz jestem usatysfakcjonowany...I opublikuję następną nierównośc dla Ciebie. Przepraszam za opóźnienie w podziękowaniu, ale trafił mi się mały wypad wakacyjny (nie było mnie w domu do wtorku wieczorem...). Co do Shleifera, tez szukałem jakiegoś śladu w necie i natrafiłem na stronę w języku hebrajskim ( www.taharut.org ), a na niej artykuł Michaela Rozenberga o metodzie substytucji zmiennych w dowodzeniu nierówności(http://taharut.org/articles/uvw.pdf); na str. 6 jako ćwiczenie figuruje tam nasza «wyjściowa» nierówność dla n=3 (już po przekształceniach) podpisana «F. Shleifer, 1979» Pozdrawiam, <t>

Vax: Miło mi, że mogłem pomóc, oczywiście czekam na kolejną nierówność