Ciąg geometryczny. Sylwia: DRODZY STUDENCI I INNI GENIUSZE! POMOCY! Bogaty biznesmen chce ufundować rentę swojemu siostrzeńcowi. Jaką kwotę na początku roku powinien on wpłacić do banku, aby siostrzeniec mógł raz na rok mieć wypłacane przez bank 10 000zł przez kolejnych 10 lat? Pierwsza wypłata ma nastąpić na koniec roku, w którym bank otrzymał pieniądze od biznesmena. Oprocentowanie w banku wynosi 7% w skali roku, kapitalizacja odsetek następuje raz na rok. Odp. 70 236zł. Znalazłam rozwiązania na dwóch stronach internetowych, ale ich nie rozumiem. W jednym ktoś wyprowadził jakiś kosmiczny wzór, a w drugim ktoś posłużył się PAVF. Czy mógłby ktoś to rozwiązać i wytłumaczyć dokładnie, krok po kroku, w najłatwiejszy możliwy sposób? Proszę...

Basia: Rozumiem, że po 10 latach konto zostanie "wyzerowane", czyli siostrzeniec odbiera co roku więcej niż wynoszą odsetki. Chcę się upewnić zanim spróbuję to policzyć.

Sylwia: Nie wiem. Przepisałam treść co do kropki z książki. Była jeszcze definicja tego, co to jest renta, ale myślę, że nie muszę tego dodawać.

Sylwia: Aaa... Tak. Po dziesiątym odebraniu renty na koncie nie będzie żądnych pieniędzy.

Sylwia: Pomoże ktoś?

Sylwia: Podbijam

ICSP: policz ręcznie.

Sylwia: no co Ty... Nie da się jakoś inaczej?

Trivial: Wzór na kapitał po n latach przy rocznej kapitalizacji, bez uwzględnienia podatku i przy stałym wypłacaniu pieniędzy można łatwo wyprowadzić. Niech K₀ oznacza kapitał początkowy, p oznacza oprocentowanie lokaty i niech c oznacza kwotę, którą wyciągamy przy każdej kapitalizacji (co roku). K_n oznacza kapitał po n latach oszczędzania. Po roku mamy: K₁ = K₀ + p*K₀ − c = K₀(1+p) − c. Po dwóch latach: K₂ = K₁(1+p) − c = [K₀(1+p) − c](1+p) − c = K₀(1+p)² − c(1+p) − c K₃ = K₂(1+p) − c = [K₀(1+p)² − c(1+p) − c](1+p) − c = K₀(1+p)³ − c(1+p)² − c(1+p) − c ... K_n = K₀(1+p)ⁿ − c(1+p)ⁿ⁻¹ − c(1+p)ⁿ⁻² − ... − c(1+p) − c = = K₀(1+p)ⁿ − c[(1+p)ⁿ⁻¹ + (1+p)ⁿ⁻² + ... + (1+p)¹ + (1+p)⁰]. Zauważ, że w nawiasie masz sumę ciągu geometrycznego o ilorazie równym 1+p. Dla ułatwienia podstawmy a = 1+p. Wynikiem tej sumy jest:

an−1
	.
a−1

	an−1
Kn = K0an − c*		, gdzie a = 1+p.
	a−1

Dane n = 10 c = 10 000 p = 7% K_n = K₁₀ = 0. K₀ = ? a = 1+p = 1 + 7% = 1.07

	an−1
Kn = K0an − c*
	a−1

	an−1
K0an = Kn + c*
	a−1

	an−1   Kn + c*   a−1
K0 =		.
	an

	1.0710−1   0 + 10000*   0.07
K0 =		≈ 70 235.82 zł
	1.0710

ICSP: x − kwota początkowa: 10000 : 1,07 = 9345,7943 − kwota przed 10 kapitalizacji odsetek 19345,7943 : 1,07 = 18080,181 − kwota przed 9 kapitalizacji odsetek 28080,181 :1,07 = 26243,159 − kwota przed 8 kapitalizacji odsetek ... 75152,318 − kwota po 1 kapitalizacji odsetek 75152,318 : 1,07 = x kwota bez kapitalizacji odsetek − wpłacona przez dziadka

Sylwia: Dziękuję, teraz postaram się to jakoś ogarnąć

Sylwia:

	1
A tam w nawiasie to iloraz tej sumy nie wynosi		?
	p+1

Sylwia: Zrozumiałam ten kosmiczny wzór z innej strony, dzięki temu

Trivial: Daj może tą stronę.

Sylwia: http://zadane.pl/files/d4a/a6e4cd778510da7b6bdf6403b6df6d26.jpg Patrząc tak po prostu na te literki w ogóle nie mogłam ogarnąć o co chodzi, ale teraz na szczęście już wszystko jasne

Trivial: Na podanej stronie robili to od końca, a ja robiłem od początku.

	1
Dlatego u mnie iloraz to 1+p a u nich		.
	1+p

Wiesel:

	an−1
Skąd bierze się suma		?
	a−1

	1−qn
Przecież wzór na sumę ciągu geometrycznego jest a1		.
	1−q

:(