Piotr student Piotr student: Może mi ktoś to zadanie krok po kroku rozpisać bo nie mogę poradzić sobie z tym zadaniem Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y):

	1		1
f(x,y)=4xy+		+
	x		y

Basia: x,y ∊R\{0|

	1
f'x = 4y −
	x2

	1
f'y = 4x −
	y2

	1
4y −		= 0 /*x2
	x2

	1
4x −		= 0 /*y2
	y2

4x²y − 1 = 0 4xy² − 1 = 0 4x²y = 1 4xy² = 1 4x²y = 4xy² 4x²y − 4xy² = 0 4xy(x − y) = 0 x= 0 (ale to niemożliwe, bo pary (0,y) ∉dziedziny funkcji) lub y=0 (ale to też niemożliwe, bo pary (x,0) ∉dziedziny funkcji) lub x − y = 0 x = y y = x podstawiam do drugiego równania ( z tych zaznaczonych na niebiesko) 4x*x² = 1 4x³ = 1 x³ = ¹₄

	1		1
x = 3√14 = (14)1/3 =		=		=
	(22)1/3		22/3

1*21/3		21/3
	=
22/3*21/3		2

	21/3
y = x =
	2

jedynym punktem, w którym może być ekstremum jest

	21/3		21/3
P=(		,		)
	2		2

spróbuj sam dokończyć

:): to może inny przykład f(x,y)=(2x+y²)e^x

Basia: : ): lepiej już Piotrowi w tym poście nie mieszaj, całkiem się pogubi

Piotr student: chciałbym dokończyć ten przykład co mam dalej liczyć Basiu?

:): z tego co pamietam to liczenie 2 pochodnych po x i y i pochodnej mieszanej

:): i tworzysz wyznacznik ale to chyba juz wiesz i jak wyznacznik wyjdzie >0 to jest ekstremum

Basia: drugie pochodne; policz wszystkie i napisz wyniki w jednym wpisie ( i na razie tylko tyle) sprawdzimy czy dobrze i dopiero potem będziesz liczył dalej

:): tworzysz macierz*i liczysz wyznacznik aby ekstremum istniało wartosc musibyc>0 sorry za pomyłki

Karol ~PG: liczysz sobie pochodne po x i po y pierwsze, później mieszane i drugie i podstawiasz, patrzysz czy spełniony jest warunek konieczny. Najpierw te po x i y pierwsze podstawiasz do układu równań z ktróych każdy się równa zero, z tego wyznaczysz sobie punkty stacjonarne i patrszycz czy spełniony jest warunek istnienia ekstremum czyli wstawiasz w wyznacznik w(det)=[druga po x , mieszana po x] [mieszana po y, druga po y ] mnozysz na krzyż czyli druga po x * druga po y − (mieszana po x * mieszana po y) oczywiscie najpierw podstaw sobie punkty dla danego przykładu i jak wychodzi ci z mnożenia większe od zero to istnieje ekstremum(warunek konieczny, mniejsze od zero nie ma ekstremum) a później żeby sprawdzić podstawiasz do drugiej pochodnej po x jeżeli większe od zera to maximum, mniejsze to minimum i masz wartość w danym punkcie i analogicznie dla wszystkich twoch punktów stacjonarnych

Piotr student: zaraz ok

Piotr student:

	1
f''xx=−
	x2

f''yy=4

Basia: no niestety, to zupełnie nie tak

Piotr student:

	1
f'x=4y−
	x2

	1
f'y=4x−
	y2

Piotr student: f''xx=−1 f''yy=−1

Basia:

	1		1		1		1
f"xx = (4y −		)'x = 0 − (		)' = − (−		)*(x2)' =		*2x =
	x2		x2		(x2)2		x4

	2
	x3

f"_xy = 4 f"_yx = 4

	1		1		1		1
f"yy = (4x −		)'y = 0 − (		)' = − (−		)*(y2)' =		*2x =
	y2		y2		(y2)2		y4

	2
	y3

teraz policz wyznacznik Hessego

Piotr student:

	1		1
mam pytanie a czego jest (4y−		)'x=0−(		) a tego dalej nie rozumiem skąd to się
	x2		x2

wzieło

Piotr student: chciałbym to zrozumieć Basiu wytłumaczysz?

Basia: liczysz pochodną po x pochodna z 4y równa się 0

	1
pochodną		liczę jak pochodną funkcji złożonej, ale można też inaczej i może tym
	x2

sposobem szybciej zrozumiesz

	1		2
(		)' = (x−2)' = −2*x−2−1 = −2x−3 = −
	x2		x3

	2		2
czyli ostatecznie masz 0 − (−		) =
	x3		x3

Basia: muszę teraz kończyć, zajrzę za kilka godzin

Piotr student:

	1
tego nie rozumiem =−(−		)*(y2)' jak byś mogła Basiu wytłumaczyć
	(y2)2

Piotr student: wytłumacz mi to co napisałem wyżej proszę Basiu

;): umiesz liczyc pochodna ilorazu?

;): powiem tak jak liczysz pochodną po x to traktujesz y jako stałą cyzli jeżeli masz f'x=4y−U{1}{X²] TO 2 pochodna po x czyli 4y−>stała pochodna stałej to 0

	1
a ułamek		robisz pochodna ilorazuumiesz?
	x2

Piotr student: jak to pochodną ilorazu robię nie pamiętam chyba tego

;):

	−2x
czyli
	x4

;): to sobie przypomnij

;):

	−2
czyli ostatecznie masz
	x3

;): f'(x)*g(x)−f(x)*g'(x) f(x) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =−−−−−−−− g(x)² g(x)

;): pewnie go znasz

;):

	1		0*x2−1*2x
czyli		=
	x2		x4

Karol ~PG: W pierwszym punkcie nie ma ekstremum w drugim który podała ci Basia jest i jest to minimum a ile wynosi to napisałem Ci jak się dowiedzieć, z tym że napisałem błąd w ostatnim zdaniu jak podstawiony punkt do drugiej pochodnej po x > 0 to minimum ,< 0 to maximum. A co do pochodnych to masz na stronie tutaj wiele przykładów więc radzę Ci sobie je przypomnieć i porobić, bo skoro nie umiesz liczyć pochodnych ( w cząstkowych w zależności po czym się liczy to druga zmienna jako stała jest traktowana, ale to było wspominane) to kicha będzie na tej poprawce, to samo do układu równań. Dodam Ci na koniec że przy liczeniu ekstremów pochodne mieszane muszą wynosić tyle samo w innym przypadku nie ma co dalej liczyć Dla ułatwienia napiszę ci jak wygląda macierz użytkowniku zapomniałeś o minusie przed i jest wtedy ze znakiem +

	2
[		4 ]
	x3

	2
[4		]
	y3

Piotr student:

	1
mam pytanie może mi to ktoś wyjaśnić skąd to się wzieło −(−		*(y2) proszę bardzo was
	y2)2

Piotr student: co mam teraz liczyć proszę o podpowiedz

Karol ~PG: wzięło to się z tego, że Basia liczyła druga pochodna po Y , wyraz z x jest równy zero bo traktujemy jako stała a był sam x więc to się zeruję, a to z y co mówisz że nie wiesz co to policzyła jako pochodna ilorazu wyżej użytkownik ; ) pokazał ci skąd to się bierze, a ja napisałem CI jak będzie wyglądać wyznacznik główny, czyli jak masz swoje punkty stacjonarne to teraz podstawiasz wartości pod x i y i mnożysz na krzyż napisałem ci wyżej jak, i jeżeli wyjdzie Ci z tego >0 to jest ekstremum i żeby zobaczyć wartość to do drugiej pochodnej po x wstawiasz punkt stacjonarny i liczysz, napisałem Ci także jak się tego dowiedzieć i co oznacza gdy >0 lub <0 Przypomnij sobie pochodne bo naprawdę, wałkujemy Ci skąd to się bierze, i jak grochem o ścianę Bez znajomości pochodnych nie masz co brać się za ekstrema

Piotr student: proszę o podpowiedz co mam dalej liczyć w tym zadaniu

:): a umiesz przewijać do góry czy nie>?

Basia: No i wystraszyliście chłopaka. Ładnie to tak ?

Piotr student: Basiu powiesz co mam dalej liczyć?

Basia: W tym poście jest już taki potworny bałagan, że proponuję założyć nowy z tym samym zadaniem i zacząć od początku.

Piotr student: dobrze to to zadanie napiszę od początku

Piotr student: chodzi mi w nowym poście

;): to ja proponuje przepisać tam do czego doszedłeś tutaj przeczytać wsyztsko co pisze tu i ciachniesz to sam

Vogl: Piotrze, z ciekawości, jeśli wolno zapytam: gdzie studiujesz?