Oszacowanie sumy wyrazów ciągu. teofrast: Oszacowanie sum wyrazów ciągów. Niech (a_n)_n∊N : a_n = ¹_{(n + 1) √ n} oraz (b_n)_n∊N : b_n = ¹ _{n √ (n + 1)} . Pokazać, że : n n ∑ a_k ≤ 2 ( 1 − ¹_{√ (n+1)} ) ≤ ∑ b_k k=1 k=1

teofrast: UWAGA : w tezie zadania maja być nierówności ostre ( pomyliłem się wpisujac tekst zadania...)

Vax: No to tutaj wystarczy prosta indukcja, z tym nie powinieneś mieć problemu, dla przykładu 1 nierówność, dla n=1 działa, zakładamy, że działa dla pewnego n i dowodzimy dla n+1:

	1
∑k=1n+1 ak < 2(1 −		)
	√n+2

	1		2
∑k=1n +		< 2−
	(n+2)√n+1		√n+2

	2		1		2
2−		+		< 2−
	√n+1		(n+2)√n+1		√n+2

2		2		1
	−		>
√n+1		√n+2		(n+2)√n+1

2√n+2−2√n+1		1
	>		/*√n+1*√n+2
√n+2 * √n+1		√n+2*√n+2*√n+1

	1
2√n+2−2√n+1 >		/*√n+2
	√n+2

2(n+2)−2√n²+3n+2 > 1 2n+3 > 2√n²+3n+2 Obie strony nieujemne, więc mogę podnieść do kwadratu: 4n²+12n+9 > 4(n²+3n+2) 9 > 8 co jest oczywiście prawdą, cnd. W analogiczny sposób dowodzisz drugiej nierówności Pozdrawiam.

teofrast: Witam Vax, Dzięki! Aż mi wstyd, że rzuciłem takie proste zadanko na forum: ja musiałem się gdzieś kopnąć w rachunkach (co mi się rzadko zdarza) − myślałem przeto,że trzeba tu jakiś kruczek zastosować...Ale mam całą seryjkę kilkunastu zadań zadań jakie lubisz. Jak znajdę moment to je tu wpiszę.