Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Piotr student: Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y): f(x,y)=x²−6xy+y³+3x+6y

Piotr student: f'x=2x−6y+3 f'y=−6x+3y²+6 f'x=0 f'y=0

⎧	2x−6y+3=0
⎩	−6x+3y2+6=0

Piotr student: jaką metodę układu równań zastosować Basiu

Piotr student: mam prośbę Basiu do ciebie czy sprawdzisz mi czy mam policzone dobrze do tego momentu zadanie

Basia: do tego momentu jest dobrze wskazówka: przy rozwiązywaniu układu podziel najpierw drugie równanie przez 3 i dodaj równania stronami będzie niewiele liczenia

Piotr student:

⎧	2x−6y=3
⎩	−6x+3y2=6/:3

⎧	2x−6y=3
⎩	−2x+y2=2

Basia: 2x − 6y +3 = 0 −2x+y²+2 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− y²−6y+5 = 0 a przy przenoszeniu na drugą stronę równania zmienia się znak, z tym, że tu akurat nic nie trzeba przenosić teraz Δ, y₁ i y₂, a potem z równania (1) odpowiednio x₁ i x₂

Piotr student: jakiś błąd robię Basiu

Piotr student: ale nie rozumiem dlaczego jest przy dodawaniu stron takie coś ci wyszło y²−6y+5=0

Basia: 2x−6y+3−2x+y²+2 = 0+0

Basia:

Piotr student: możesz jaśniej Basiu

Piotr student:

Piotr student: Δ=b²−4ac Δ=(−6)²−4*1*5 Δ=36−20 Δ=16

Basia: jak jaśniej ? 2x−2x=0 2+3 = 5 zostaje y² − 6y + 5 = 0 Δ masz dobrze; teraz y₁ i y₂

Piotr student: pierwiastek z Δ=4

Piotr student:

	−b−√Δ
y1=
	2a

	6−4
y1=
	2*1

	2
y1=
	2

y₁=1

	−b+√Δ
y2=
	2a

	6+4
y2=
	2*1

	10
y2=
	2

y₂=5

Basia: y₁ = 1 ⇒ z równania 2x−6y+3=0 masz 2x−6*1+3=0 2x−3 = 0 2x =3 x = ³₂ masz A(³₂,1) teraz to samo dla y₂ = 5

Piotr student: i co dalej liczyć Basia?

Basia: patrz wyżej

Piotr student: to podstawiam do pierwszego równania Basiu

Basia: tak

Piotr student: 2x−6*5+3=0 2x−30+3=0 2x−27=0 2x=27/:2

	27
x=
	2

Piotr student:

	27
B=(		,5)
	2

Basia: dobrze , czyli masz drugi punkt B(²⁷₂, 5) teraz licz drugie pochodne

Piotr student: f''xx=2 f''yy=6y f''xy=−6 f''yx=−6

Basia: dobrze, to teraz policz wyznacznik Hessego

Piotr student: W(x,y)=f''xx(x,y)*fyy(x,y)−f''xy(x,y)*f''yx(x,y) W(x,y)2*6y−(−6)*(−6) W(x,y)=12y−36

Piotr student: co teraz liczyć?

Basia: dobrze A(³₂,1) liczysz W(³₂,1) = 12*1 − 36 < 0 w tym punkcie nie ma ekstremum B(²⁷₂,5} W(²⁷₂,5) = 12*5−36 = 60−36=14>0 w tym punkcie jest ekstremum aby stwierdzić jakie liczysz f"_xx(²⁷₂,5) = 2 (bo w ogóle nie zależy ani od x, ani od y) f"_xx(²⁷₂,5) >0 czyli w tym punkcie jest minimum wartość tego minimum to: f(²⁷₂,5)) = (²⁷₂)²−6*²⁷₂*5+5³+3*²⁷₂+6*5 = policz sobie

Piotr student: A(³₂,1) W(³₂,1)=12*1−36=12−36=−24<0 w punkcie A nie ma ekstremum

Basia: zgadza się

Piotr student: wartość tego minimum do czego wstawiasz Basia

Basia: to jest wartość funkcji w tym punkcie, czyli do wzoru funkcji

Piotr student: Basia pomożesz?

Piotr student: dalej piszę ⁷²⁹₄−405+125+⁸¹₂+30

Piotr student: co dalej z tym zrobic proszę o podpowiedz

Piotr student: Basia proszę o podpowiedz

Piotr student:

Trivial: Panie Piotrze, musisz sam spróbować rozwiązywać takie zadania, a nie cały czas upominać się o rozwiązanie. Te zadania są tak schematyczne, że naprawdę nie powinieneś mieć problemów po przerobieniu tylu zadań ile już przerobiłeś chociażby na forum. Jedyną trudnością może być sposób rozwiązania układu równań, aby odnaleźć punkt będący 'kandydatem'. Pozdrawiam.

Piotr student: 182,25−405+125+40,5+30=−27,25

Piotr student: z_min=−27¹₄

Piotr student: wyszło mi zadanie dzięki wam